ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ Виктория И. ПРОХОРЕНКО ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 25 марта 2004 Институт Космических Исследований Российской Академии Наук Памяти Павла Ефимовича ЭЛЬЯСБЕРГА

Аннотация (1из 2) Речь идет о практической задаче выбора долгоживущих орбит ИСЗ с большим эксцентриситетом и наклонением. Орбиты ИСЗ серии ПРОГНОЗ, запущенные с 1972 по 1995 г.г. послужили экспериментальным материалом для исследований. На первой стадии исследований были использованы аналитические решения двукратно-осредненной ограниченной круговой проблемы Хилла, полученные М.Л. Лидовым [1961]. Геометрическая интерпретация этих решений позволила разработать геометрический метод анализа долгопериодической эволюции, и времени существования орбит ИСЗ. Предположение о компланарности орбиты Луны и плоскости эклиптики позволило применить упомянутые решения задачи трех тел к задаче четырех тел (Земля, Спутник, Луна Солнце). 2

Сравнение аналитических решений с результатами численного интегрирования с учетом реальных гравитационных возмущений от Луны и Солнца позволило обнаружить существенную роль некомпланарности орбит рассматриваемых возмущающих тел. Результаты исследования влияния прецессии орбиты Луны на характер эволюции и время существования орбит ИСЗ представлены во второй части доклада Аннотация (2 of 2) 3

П.Е. ЭЛЬЯСБЕРГ и М.Л. ЛИДОВ

Введение Эволюция эллиптической орбиты точки P (спутник нулевой массы) рассматривается в рамках ограниченной круговой проблемы трех тел. Точка P движется в поле притяжения центральной точки S (массы M) под влиянием гравитационных возмущений со стороны третьей точки J (массы M 1 ), которая движется вокруг точки S по круговой орбите радиуса a 1. М.Л. Лидов [1961] получил аналитическое решение двукратно- осредненной системы дифференциальных уравнений движения точки P в приближении Хилла, полагая что отношение большой полуоси a орбиты точки P удовлетворяет соотношению: = a/a 1

Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении a - большая полуось, = 1 - e 2, e – эксцентриситет; i,, и - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр орбиты возмущающего тела; M, M 2 – масса центрального и возмущающего тел Критическое значение *, соответствующее соударению спутника с центральным телом радиуса R: * = 1- (1-R/a) 2 С1С1 С2С2 Область возможных значений интегральных констант с 1, с 2

I. Основные закономерности эволюции высоты перицентра, использованные в процессе проектирования орбит серии «ПРОГНОЗ»

Короткопериодическая эволюция высоты перицентра за виток Знак изменения высоты перицентра за виток h p зависит от угла между осью и проекцией вектора возмущающего ускорения на плоскости O : 0 < h p при I или III четверти h p < 0 при II или IV четверти *) Правая система координат O : начало координат совпадает с притягивающим центром, плоскость O совпадает с плоскостью орбиты спутника, ось направлена в точку перицентра, ось - по нормали к плоскости орбиты. В книге П.Е. Эльясберга [1965] приведены оценки модуля максимального отклонения высоты перицентра за виток h p max под влиянием гравитационных возмущений от Луны и Солнца для орбит с высотой апогея (перигея) от до км (от 200 до км). Изменение высоты перицентра орбиты спутника за виток h p зависит от значений большой полуоси спутника, эксцентриситета, и положения вектора возмущающего ускорения относительно орбитальной системы координат O *)

Долгопериодическая эволюция высоты перицентра Знак долгопериодического изменения высоты перицентра зависит от значения аргумента перицентра, измеренного относительно линии узлов орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела: 0 < при II или IV четверти < 0 при I или III четверти В книге П.Е. [1965] показано, что max = ½ h p max

Эволюция радиуса перицентра r p и время существования орбит ИСЗ серии «ПРОГНОЗ» (1972 –1995) Численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений выполнено с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца P1 P2 P3 P4,5,7 P6 P8 P10 I-1 Типичные начальные значения орбитальных элементов: < a (R E ) < 16.74; < e 0 < 0.936; i e0 = 65 (до P10); e0 = 290 (до P7). Угловые элементы измерены относительно плоскости земного экватора

II. Геометрическое исследование первых интегралов задачи Хилла в сферической системе координат O i : = 1 - e 2 (0 1) - радиус; i (0 i 180 ) - коширота ; (0 i 360 ) - широта

Геометрическая интерпретация первых интегралов c 1, c 2 12 Интегральные кривые, соответствующие линиям пересечения поверхностей c 2 = (1- ) (2/5- sin 2 sin 2 i) с поверхностями c 1 = 0 (i = 90 ) (c) и c 1 = 0.2 (d) Сечения поверхностей вращения c 1 = cos 2 i плоскостями = 0, 180 (а) и = 90, 270 (b). Серым тоном здесь и далее выделена область, соответствующая значениям c 2 < 0 а b d c = 180 = 0 = 270 = 90

Геометрическая интерпретация соударения спутника с центральным телом конечного радиуса R Косой штриховкой показана область, соответствующая орбитам с конечным временем баллистического существования для a * = 8, определяемая неравенствами: c 1 (1 - *)(c 1 / * - 0.6) Гордеева [1968] a * = 8, * = 0.234, c 1 =0.1, c 2 =0.1; c 2 = * = (2a * - 1)/a * 2, a * = a/R a*a*

Соотношение между областями возможных значений начальных орбитальных элементов 0, i 0, 0 и интегральных констант c 1, c 2 0 = = superposition 14 a b cd c 1 = 0 cos 2 i 0, c 2 = (1 - 0 ) (2/5 - sin 2 i 0 sin 2 0 ) Сферическая поверхность 0 =0.4

III. Параметрический анализ периодов долговременной эволюции элементов, i и мажоранты времени баллистического существования

Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени 16 Время эволюции орбитальных элементов можно представить в виде произведения независимых параметров, используя квадратуру (2) и теорию подобия и размерностей Ю.Ф. Гордеева [1968] выразила квадратуру L через эллиптический интеграл первого рода

Период T * долгопериодической эволюции орбитальных элементов (, i) и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит L C (c 1, c 2 ) Конфигурационный параметр подобия орбит L C (c 1, c 2 ) зависит только от c 1, c 2, его знак совпадает со знаком параметра c 2, а абсолютное значение равно удвоенной квадратуре L, вычисленной в пределах min, max 17 T * = 4/15 a * -3/2 L C (c 1, c 2 ) /L D, L C (c 1, c 2 ) = 2L(c 1, c 2, min, max, /2) L C (c 1,c 2 ) сечение плоскостями c1 (c1

Мажоранта T B* времени баллистического существования и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит L B (c 1, c 2, a * ) Конфигурационный параметр L B (c 1, c 2, a * ) имеет тот же знак, что и c 2, а абсолютное значение, равное удвоенной квадратуре L вычисленной в пределах *, max, с начальным значением 0, определенным как функция от * (при sin 2 0 ( *) < 0) 18 T B* = 4/15 a * -3/2 L B (c 1, c 2, a * ) /L D, L B (c 1, c 2, a * ) = 2L(c 1, c 2, *, max, 0 ( *)) Изолинии для поверхностей L C (c 1, c 2 ) и L B (c 1, c 2, a * ) при a * = 16 L B определено только для c 1, c 2, при которых min < *< max Линии соответствуют значениям уровня от 5 to 13 с единичным шагом

Свойства функций L C (c 1,c 2 ) и L B (c 1,c 2,a * ) Острый пик при c 2 = 0 (при c1 < 0.6) Зеркальная квазисимметрия относительно плоскости c 2 = 0 в окрестности c 2 = 0 (при c 1

IV. Анализ семейства орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ ( a * = 16.6, * = 0.117) и метод выбора долгоживущих орбит Для каждой орбиты значения параметров c 1, c 2 показаны черными точками и маркированы номером ИСЗ

Область значений с 1, с 2, соответствующих орбитам с конечным временем существования Геометрический метод выбора долгоживущих орбит Большая полуось a = 8 R E * = Высота перигея h p0 = 5000 km e 0 = = L c (c 1,c 2 ) L B (c 1,c 2, a * )

V. Сопоставление аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы дифференциальных уравнений с учетом реальных возмущений от Луны и Солнца

Безразмерный параметр подобия возмущений L D для системы тел: Земля, Спутник, Луна, Солнце l =R E = m, =365 сут.; = m 3 /s 2 (Земля); 1 = m 3 /s 2, a 1 = m, 1 = 1 (Луна); 2 = m 3 /s 2, a 2 = m, 2 = 1 (Солнце). Система тел Земля–ИСЗ– Луна Земля– ИСЗ– Солнце Земля– ИСЗ – Луна +Солнце 123 LDLD Значение L D в третьей колонке представляет собой сумму значений, расположенных в колонках 1 и 2 Использованы следующие характерные размер l, время, и динамические параметры центрального и возмущающих тел: 23

Сопоставление времени существования ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 под влиянием возмущений от Луны и Солнца вместе и отдельно, рассчитанного по аналитическим формулам и по результатам численного интегрирования с учетом реальных возмущений Возмущающее тело ЛунаСолнце Луна+ Солнце Учет реальных возмущений Аналитическое решение Эволюция радиуса перигея r p под влиянием Луны и Солнца отдельно и вместе Солнце Луна Луна + Солнце r p = 6 R E

Численный расчет (с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца) времени баллистического существования для гипотетических версий орбит v1-v7 типа ИНТЕРБОЛ –1 с различными значениями аргумента перицентра 314 0e 290, при фиксированных значениях остальных орбитальных элементов (a =16.12 R E, e 0 = 0.93, i 0e = 62.9, 0e = 260, 0 = 24.5 ) и датой старта ИВ e =

Сопоставление численных расчетов времени баллистического существования T BR с аналитическим расчетом мажоранты T B* (с 1, c 2, a * ) ИНТЕРБОЛ-1: a * = 16.12, c 1 = , с 2 = 0.247, e 0 = 0.93, 0 = 0.123, 0 = и версии v1-v7 со значениям (0.14 c ) Сплошная (штриховая) линия показывает период эволюции T * (мажоранту времени баллистического существования T B* ) в функции параметра c 2. Расчетное время баллистического существования T BR показано в виде дискретных символов в функция значения параметра c 2, определяемого начальными значениями орбитальных элементов. Светлые (темные) значки показывают расчетное время баллистического существования T BR, связанное с ротационным (либрационным) типом эволюции аргумента перицентра. 26 Это позволило обнаружить «сдвиг» функции T BR относительно функции T B* T *,T B*,T BR

VI. Исследование влияния прецессии орбиты Луны на эволюцию орбитальных элементов ИСЗ и время их существования (Учитывается наклонение 5.15 плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики и прецессия орбиты Луны с периодом года)

Вспомогательные функции 1 (t), 2 (t) и 1m (t), 2m (t) для исследования эффекта от прецессии орбиты Луны Для сопоставления аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы уравнений будем в процессе интегрирования следить за поведением функции 1 (t) и 2 (t) с начальными значениями 1 (t 0 ) = c 1 и 2 (t 0 ) = c 2 1 (t) = cos 2 i ; 2 (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 sin 2 i). Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m (t), 2m (t): 1m (t) = cos 2 i m ; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 m sin 2 i m ), где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные относительно плоскости орбиты Луны. Из определения этих пар функций следует, что области их возможных значений совпадают с областью допустимых значений параметров c 1, c 2. 28

Параметр, отвечающий за сдвиг функции T BR относительно функции T B* Эволюция функций 1m (t), 2m (t) определяется эволюцией углового расстояния между восходящими узлами орбит спутника и Луны на плоскости эклиптики Для орбит с фиксированным начальным значением прямого восхождения восходящего узла 0 начальное значение (t 0 ) = 0 зависит от даты старта, которая в свою очередь определяет позицию восходящего узла орбиты Луны. Угловая скорость эволюции параметра определяется как разность между угловой скоростью эволюции прямого восхождения восходящего узла орбиты спутника и постоянной угловой скоростью прецессии орбиты Луны. Эволюция параметра в рамках двукратно осредненной проблемы Хилла определяется квадратурой (3). М.А. Вашковьяк [1999] выразил эту квадратуру через эллиптические интегралы первого и третьего рода. 29

Зависимость времени баллистического существования и поведения функций 1m (t), 2m (t) от начального значения параметра 0 C 2 > 0 Рассмотрены два варианта орбит с одинаковым значением c 1 = : IB1 - эквивалентен орбите ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 ( 0 = 339, c 2 = 0.247) v4 - отличается от первого только начальным значением аргумента перицентра ( 0 = 322.6, c 2 = 0.069). T *, T B*,T R*, годы 0 =78 0 = =40 Для каждой из орбит сделан расчет времени баллистического существования T BR для набора дат старта, обеспечивающего покрытие всего интервала возможных значений параметра 0 ( ). Для каждой орбиты значения T BR ( 0 ) отнесены к своему значению c 2 и маркированы значениями 0. Светлые (темные) значки соответствуют ротационному (либрационному) типу эволюции аргумента перицентра. v4 1, 1m 2, 2m

VII. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ о роли параметра 0 на примере других орбит серии ПРОГНОЗ

Цилиндрическая система координат O 1 1 = 0 1 = = 270 = 90 = 1 - e 2 (0 1) -радиус; (0 360 ) - долгота; 1 (0 1 1) – координата Z

Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-2 33 ПРОГНОЗ-2 (a*=16.7, *=0.116) 0 = 284, 0 = (t 0 )=c 1 =0.07, 1 (t 0 )=c 2 =-0.03 Характер эволюции параметров, и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0 ) Реальный запуск 29.VI.1972, 0 = 70 Время существования ~ 8 лет Гипотетический запуск 29.VI.1981, 0 = 247 Время существования ~ 60 лет

Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-6 Реальный запуск 22.IX.1977, 0 = 225. Время существования ~ 40 лет Гипотетический запуск 22.IX.1988, 0 = 80. Время существования ~ 7 лет ПРОГНОЗ-6 (a*=16.6, *=0.117) 0 = 268, 0 = (t 0 )=c 1 =0.05, 1 (t 0 )=c 2 = Характер эволюции параметров, и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0 )

Эволюция орбитальных элементов гипотетической версии орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта = Время существования более 500 лет RpRp i 1, 1m 2, 2m

Гипотетическая версия орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта Эволюция параметров 1, 2, 1m, 2m и орбитальных элементов, на интервале времени 1978 – = 90 =1

Заключение Сопоставление аналитических решений двукратно осредненной проблемы Хилла с решениями, учитывающими возмущения от реальных внешних тел, позволило выделить параметры, от которых зависит характер эволюции орбитальных элементов и время баллистического существования ИСЗ, обусловленное гравитационными возмущениями со стороны внешних тел (Луны и Солнца). Такими параметрами являются безразмерные константы первых интегралов двукратно-осредненной задачи c 1 (0 c 1 1), c 2 (-0.6 c 2 0.4), безразмерный параметр 1 < a *, равный отношению большой полуоси орбиты спутника к радиусу центрального тела, и параметр 0 ( ) – начальное угловое расстояние между восходящими узлами орбит ИСЗ и Луны на эклиптике. 37

Список литературы Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли С. 5. Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон. журн." Т С Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед Т С Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно осредненной задаче Хилла // Космич. исслед Т С. 22. Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты возмущающей точки // Письма в Астрон. журн Т , С