Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Средние величины Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным ( например, средняя заработная плата, средний доход и т. д.). где – средняя величина ; n – численность совокупности. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной ( кв ).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Средние величины Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменными произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Средние величины Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Существует следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Индексы В статистике индексы пользуются в качестве показателей изменений. Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления ( простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов ). Индексы являются показателями сравнения как с прошлым периодом, так и с другой территорией, а также с некоторым нормативом или плановым заданием. Каждый индекс включает отчетные и базисные данные Индексы подразделяются на сводные ( общие ) и обозначается как I, и индивидуальные – обозначается i.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Индексы Общее изменение цен на рынке образуется под влиянием изменений цен на отдельные товары. Таким образом, имеется ряд отношений : где p ij – цены на товар j в период времени i. Эти отношения – индивидуальные индексы, и сводный индекс представляет собой средний из них : где j – номер товара.,

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Индексы Индекс цен для каждого товара должен сопровождаться неким « весом », которые позволяет оценить относительную значимость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный вес в общей стоимости покупок в базисном периоде : где q oj – объем потребления товара j. Если обозначить удельный вес отдельных затрат d oi, то получим общий индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных индексов цен : т. е.,

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками : функциональную или жестко детерминированную и статистическую или стохастически детерминированную. Функциональная связь двух величин возможна лишь при условии, что вторая из них зависит только от первой. В реальной природе, обществе, экономике такие связи крайне редки. Если с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые с некоторыми вероятностями, но ее среднее значение или иные статистические ( массовые ) характеристики изменяются по определенному закону, связь является статистической.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака X закономерным образом изменяется среднее значение признака Y, в то время как в каждом отдельном случае значение признака Y ( с различными вероятностями ) может принимать множество различных значений. Если вариацию имеет только один из признаков, а значения другого являются жестко детерминированными, то говорят лишь о регрессии. Таким образом, односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Регрессия относительно числа переменных может быть простой ( регрессия между двумя переменными ) и множественной ( регрессия между зависимой переменной Y и несколькими объясняющими переменными (x 1, x 2, … x m )). Относительно формы зависимости регрессия бывает линейной ( выражается линейной функцией ) и нелинейной ( выражается нелинейной функцией ). В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение ставит следующие основные задачи : измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной – одной или нескольких ( зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков ); измерение тесноты связи двух ( или большего числа признаков между собой ).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Рис Регрессия при разной интенсивности корреляции : а – тесная корреляция ; б – слабая корреляция ( а ) r yx ( б ) r yx ; ( а ) b yx = ( б ) b yx.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Для измерения тесноты связи применяется ряд показателей. При парной связи теснота связи измеряется корреляционным отношением ( η ). Квадрат корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации : где k – число групп по факторному признаку ; – общее среднее значение ; f j – частота в j- й группе ; n – число единиц в совокупности ; y i – значение результативного признака для i- й единицы ; – среднее значение y в j- ой группе.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид : у = а + b х где y – среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х ; а – свободный член уравнения ; b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов ( МНК ) по данным о значениях признаков x и y в изучаемой совокупности, состоящей из n единиц. Исходное условие МНК для прямой линии имеет вид : Отсюда система нормальных уравнений имеет вид : Путем преобразований получаем :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях При линейной форме уравнения применяется коэффициент корреляции r yx. Коэффициент корреляции может принимать значения -1 r 1; по абсолютной величине 0 |r| 1. Отрицательные значения r yx свидетельствуют об обратной связи признаков у и x, положительные – о прямой связи. Обычно считают связь сильной, если r > 0,7; средней – при 0,5 < r < 0,7; слабой – при r < 0,5. Максимально тесная связь – это связь функциональная : r xy_max = 1.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Вероятностная оценка параметров корреляции проводится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии b средняя ошибка оценки вычисляется как : где - расчетные значения результативного признака для i- й единицы ; n-2 – число степеней свободы ( теряются 2 степени свободы, поскольку линейная парная регрессия имеет два параметра ).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии можно вычислить вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интервал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью находится отношение коэффициента к его средней ошибке, т. е. t- критерий Стъюдента Расчетное значение t- критерия Стъюдента сравнивается с табличным ( таблицы в справочной литературе « Значения t- критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10; 0,05; 0,01»).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при значении факторного признака, равном x k, вычисляется : где - средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при x=x k ; – оценка среднего квадратического отклонения результативного признака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации ; x k - ожидаемое значение фактора ; - среднее значение фактора по совокупности ; n объем выборки.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t- критерий Стьюдента ( табличное значение при различных степенях свободы и уровне значимости ). Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза положения линии регрессии и среднего квадратического отклонения индивидуальных значений от линии регрессии ( остаточной вариации ), т. е.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Различают два класса нелинейных регрессий : регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам ; регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции : полиномы разных степеней : равносторонняя гипербола :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции : степенная : показательная : экспоненциальная :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Нелинейная регрессия по включенным параметрам не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как в линейной регрессии, методом наименьших квадратов. Так, в параболе второй степени заменив переменные х = х 1, х 2 = х 2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии : для оценки которого используется метод наименьших квадратов.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков : прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное ( или минимальное ) значение результативного признака : приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микро -, но и на макроуровне. Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y: Если в уравнении равносторонней гиперболы заменить на z, получим линейное уравнение регрессии, оценка параметров которого может быть дана МНК.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Примером равносторонней гиперболы является кривая Энгеля : с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно, с увеличением дохода доля расходов на непродовольственные товары будет возрастать. Однако этот рост не беспределен, ибо сумма долей на все товары не может быть больше 100%, а на отдельные непродовольственные товары данный предел может соответствовать величине параметра a для уравнения вида где - доля расходов на непродовольственные товары ; х – доходы ( или общая сумма расходов как индикатор дохода ).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Для описания кривой Энгеля в 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. Лизер применили полулогарифмическую кривую Заменив на z, вновь получим линейное уравнение Данная функция линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров a и b может быть найдена МНК.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия В эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко используется степенная функция где y – спрос ( количество ); х – цена ; - случайная ошибка. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приводит его к линейному виду : Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены МНК.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Нелинейная регрессия Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция. Это связано с тем, что параметр b в ней имеет экономическое истолкование, т. е. является коэффициентом эластичности. Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида, то, следовательно, с увеличением цена на 1% спрос снижается в среднем на 1,12%.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Общий вид многофакторного уравнения регрессии следующий : где k – число факторных признаков ( независимых переменных ). Коэффициенты условно чистой регрессии b j – частные производные потребления y по соответствующим факторам x j : в предположении, что все остальные x j постоянны. Свободный член уравнения вычисляется по формуле :

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Многофакторная система требует уже не одного, а множества показателей тесноты связей, имеющих разный смысл и применение. Основой измерения связей является матрица парных коэффициентов корреляции. По этой матрице можно судить о тесноте связи факторов с результативным признаком и между собой. Матрица парных коэффициентов корреляции ( общий вид ) ПризнакУХ1Х1 …ХкХк У1 Х1Х1 1.…….1. ХкХк 1

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция На основе матрицы парных коэффициентов корреляции вычисляется общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным признаком – коэффициент множественной детерминации R 2. где r ij – парные коэффициенты корреляции.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Термин « коэффициент условно - чистой регрессии » означает, что каждая из величин b j измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора х j - от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях ( не изменяются, не варьируют ). Коэффициенты условно - чистой регрессии b j являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравнимы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные показатели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициента парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным коэффициентом регрессии или β -коэффициентом.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Стандартизованный коэффициент регрессии или β- коэффициент определяется: β - коэффициент при факторе x j определяет степень влияния вариации фактора x j на вариацию результативного признака у при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Коэффициенты условно - чистой регрессии целесообразно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности : Коэффициент эластичности фактора x j говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на e j процентов от ( при увеличении фактора на 1% его средней величины результативный признак увеличится на e j процентов его средней величины ).

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d 2 j ):

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция Средняя ошибка условно - чистого коэффициента регрессии b p для фактора X p имеет вид : где S y ост – оценка остаточного среднего квадратического отклонения результативного признака с учетом степеней свободы вариации : где S xp – оценка среднего квадратического отклонения признака х р

Тема « Статистическое моделирование экономических систем » Множественная регрессия и корреляция S xp – оценка среднего квадратического отклонения признака х р : где R 2 Xp,X1…Xp-1,Xp+1…Xk – коэффициент множественной детерминации для фактора X p. Для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения t- критерия Стьюдента, сравниваются с критическими. t-критерий Стьюдента рассчитывается по формуле: