Кафедра фотоники и оптоинформатики Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики А.В.Павлов Оптические технологии искусственного интеллекта Тема 1.2 Базовые математические операции в оптической обработке информации Санкт-Петербург, 2007 Реализация Фурье-преобразования тонкой линзой

Преобразование Фурье применимо к функциям, удовлетворяющим следующим условиям: Функция f(x) абсолютно интегрируема; Функция f(x) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов в любых конечных пределах; Функция f(x) не имеет разрывов второго рода.

Эта математическая операция в оптике выполняется тонкой положительной линзой и имеет очень простой и наглядный смысл – представление изображения в виде суммы дифракционных решеток с синусоидальным профилем штриха.

Преобразование Фурье Фурье-образ функции f(x) определяется следующим выражением: Где = 2 - круговая частота Обратное преобразование так как то Отсюда получим

ff r= fv r= fv 2 Плоский волновой фронт фокусируется линзой на главной оптической оси и образует картину дифракции Фраунгофера на апертуре При помещении в апертуру дифракционной решетки с частотой штрихов в фокальной плоскости линзы формируются, дополнительно к нулевому порядку, еще 2 дифракционных максимума +1 и -1, отстоящие от нулевого на расстояние f 1 Аналогично, при помещении в апертуру дифракционной решетки с частотой штрихов в фокальной плоскости линзы формируются еще 2 дифракционных максимума, отстоящие от нулевого на расстояние f 2 Поскольку изображение может быть представлено как сумма таких дифракционных решеток, то и в фокальной плоскости формируется сумма дифракционных максимумов – фурье-образ изображения или его спектр Распределение амплитуд в фокальной плоскости

Сдвиговая инвариантность преобразования Фурье – при смещении решетки в передней фокальной плоскости линзы положение дифракционных максимумов в ее задней фокальной плоскости не изменяется ff r= fv