Кафедра фотоники и оптоинформатики Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики А.В.Павлов Обработка информации оптическими методами Тема 1.4 Вейвлет-анализ. Реализация в оптике. Санкт-Петербург, 2008

Ограниченность Фурье анализа – две гармоники

Фурье-спектры двух последовательных гармоник (синий) и суммы двух гармоник (красный)

Ограниченность Фурье анализа Локальная особенность процесса

Фурье-спектры процессов без особенности (синий) и с локальной особенностью (красный)

WAVE-вейвлет

Разложение по Wave-вейвлету

Вейвлет Хаара (Haar)

Результат «не очень». Таким образом, для эффективного анализа важно правильно подобрать функцию, по которой проводится разложение – она должна быть похожа на искомую особенность..

Французская шляпа (French hat)

DOG-вейвлет (Difference of Gaussians

Сбой виден, но картина по сравнению с исходным процессом качественно не изменилась – никакого ярко выраженного пика или сигнала нет, вейвлет выбран неудачно

Основы

Нормированность на 1

Ортонормированность базиса

Интегральное вейвлет- преобразование

Определение вейвлета 1 1.Понятие R-функции

Определение вейвлета 2 Вейвлет – любая локализованная R-функция, если для неё существует функция, Которую будем называть парой или двойником, такая, что выполняется

Признаки вейвлета 1.Локализация 2.Нулевое среднее 3.Ограниченность 4.Автомодельность базиса

Свойства вейвлет-преобразования 1.Линейность 2.Инвариантность к сдвигу 3.Инвариантность к растяжению – сжатию 4.Частотно-временная локализация

Частотно-временная локализация 1.Постоянство относительной разрешающей способности по частоте 2.Постоянство площади частотно- временного (частотно-пространственного) окна

Постоянство частотно-временного окна

Дифференцирование Аналог теоремы Парсеваля

123L1L1 4L 2 L 3 5 Рис.4.1. Схема оптического вейвлет-анализатора x i

Вейвлет-анализ гармоники со сбоем

Вейвлет-анализ двух гармонических сигналов

Вейвлет-анализ фрактального множества (пыль Кантора)

Сравнение скелетонов фрактального множества и случайного процесса Пыль Кантора (Скелетон в логарифмическом масштабе) Случайный процесс