Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Дискретное преобразование Фурье

2 Одномерное преобразование Фурье Прямое преобразование Фурье Обратное преобразование Фурье где – пространственная частота – Фурье-образ функции – оператор преобразования Фурье F

3 Двумерное преобразование Фурье Преобразование Фурье двумерной функции Обратное преобразование Фурье

4 Использование преобразования Фурье в оптике Комплексная амплитуда в изображении точки Функция рассеяния точки Оптическая передаточная функция

5 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x дельта-функция = функция Дирака

6 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x решетка Дирак = гребенка Дирака

7 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x

8 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x

9 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x функция Гаусса

10 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x

11 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x

12 Одномерные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(x) x f( x ) x полуплоскость

13 Осесимметричные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(r) r f( r ) r

14 Осесимметричные функции и их Фурье-образы ФункцияФурье-образ f(r) r f( r ) r

15 Свойства Фурье-образа ФункцияФурье-образ a, b и c – произвольные константы

16 Свертка и автокорреляция Свертка двух функций Автокорелляция – свертка функции самой с собой для некогерентного освещения интенсивность на изображении – свертка ФРТ и интенсивности на предмете ОПФ – автокорелляция зрачковой функции g(x,y) f(x,y) x

17 Свойства симметрии ФункцияФурье-образ вещественная и четнаявещественный и четный вещественная и нечетнаямнимый и нечетный вещественная и не симметричная Комплексный: вещественная часть четная мнимая часть нечетная

18 Свойства Фурье-образа Теорема о центральном значении: Теорема Парсеваля (закон сохранения энергии): Теорема о производной:

19 Свойства Фурье-образа Фурье-образ двумерной функций с разделяющимися переменными можно определить как произведение Фурье-образов составляющих её множителей: Модуль Фурье-спектра обычно убывает где n – порядок дифференцируемости исходной функции чем более гладкая функция, тем быстрее убывает ее Фурье-спектр

20 Спектр периодической функции Спектр периодической функции (с периодом T) существует только в отдельных точках, то есть является дискретным с шагом 1/T F огибающая дискретного спектра – Фурье-образ одного периода функции T 1 f ~ T xf

21 Спектр дискретной функции Спектр дискретной функции с шагом дискретизации, есть периодическая функция с периодом, а в пределах одного периода – спектр огибающей выборки Частота Найквиста – предельная частота, на которой еще имеет смысл говорить о спектре выборки F x xf xT /1 f ~ x 2 1

22 Принципы дискретизации функций Непрерывная функция выборка Точность (адекватность) Экономичность (объем памяти) выбор шага выбор количества элементов в выборке

23 Теорема о выборке теорема о выборке = теорема Уиттекера-Шеннона = теорема Котельникова Любая двумерная функция с финитным Фурье-образом однозначно определяется выборкой с шагами и, величина которых удовлетворяет неравенствам: где и – предельные частоты в Фурье-образе этой функции x xf x f ~ x T 1 Финитная функция – функция, отличная от нуля только на конечном интервале если N выборки = N спектра

24 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Прямое дискретное преобразование Фурье Обратное дискретное преобразование Фурье где m – номер элемента в выборке функции, k – номер элемента в выборке Фурье-спектра N – размерность выборок

25 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) Алгоритмы БПФ: алгоритм Кули-Тьюки алгоритм Гуда-Томаса алгоритм Винограда другие FFTW – библиотека БПФ, выполненная на С++

26 Проблемы ДПФ Непрерывное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье необходимо циклическое смещение на N/2

27 Сдвиговое дискретное преобразование Фурье (СДПФ) Сдвиговое дискретное преобразование Фурье где – величина сдвига функции, – величина сдвига спектра для получения Фурье-образов с расположением начала координат в центре выборки СДПФ легко выражается через ДПФ

28 Вычисление СДПФ Домножение функции на сдвиговую экспоненту, обеспечивающие смещение спектра Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма БПФ Домножение спектра на сдвиговую экспоненту, компенсирующие смещение выборки

29 Двумерное СДПФ Двумерное сдвиговое дискретное преобразование Фурье где, – величина сдвига функции;, – величина сдвига спектра для получения Фурье-образов с расположением начала координат в центре выборки Двумерное СДПФ через ДПФ

30 Вычисление двумерного СДПФ Домножение функции на сдвиговые экспоненты, обеспечивающие смещение спектра Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма БПФ Домножение спектра на сдвиговые экспоненты, компенсирующие смещение выборки

Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Преобразование Фурье. Задачи

32 Смещение и масштабирование функций вращение вокруг OX вращение вокруг OY смещение вправо на a вдоль OX растяжение в a раз вдоль OX сжатие в a раз вдоль OX

33 Дельта-функция f(x) x x

34 Пример Описать функцию и найти ее преобразование Фурье a 0 a f(x) x Формула Эйлера