Методы математического моделирования Дисциплина для магистерской подготовки по направлению «Радиотехника» Автор: Исаев Владимир Александрович, к.т.н., доцент Великий Новгород, 2012

Лекция 1 ( ) Введение. Характеристика профессиональной деятельности магистра по направлению подготовки Информационные ресурсы по дисциплине Математическое моделирование как процесс Методологические основы моделирования

Объем дисциплины и виды учебной работы Семестр: 9 Дисциплина: Методы математического моделирования Специальность: (3 чел) Полная трудоемкость дисциплины в зачетных единицах (ЗЕ) - 3 Лекции: - 9 часов Практические занятия (в том числе аудиторная СРС): - 18(6) часов Лабораторные занятия: - Внеаудиторная СРС: 81 час Вид аттестации: дифференцированный зачет

Введение Характеристика профессиональной деятельности магистра по направлению подготовки «Радиотехника» Информационные ресурсы по дисциплине

ООП по направлению Выпускник по направлению подготовки «Радиотехника» с квалификацией (степенью) «магистр» в соответствии с задачами профессиональной деятельности и целями основной образовательной программы должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК): способностью к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно- производственного профиля своей профессиональной деятельности (ОК-2); способностью использовать на практике умения и навыки в организации исследовательских и проектных работ, в управлении коллективом (ОК-4);

ООП по направлению (продолжение) Выпускник должен обладать также следующими профессиональными компетенциями (ПК): способностью выполнять моделирование объектов и процессов с целью анализа и оптимизации их параметров с использованием имеющихся средств исследований, включая стандартные пакеты прикладных программ (ПК 17); способностью организации и проведению экспериментальных исследований с применением современных средств и методов (ПК -19). Примечание: - ФГОС ВПО по направлению подготовки «Радиотехника» утвержден приказом Минобрнауки России 5 от 13 января 2010 года; - примерная ООП ВПО по направлению подготовки «Радиотехника» утверждена УМО 9 июля 2010 года.

Информационные ресурсы по дисциплине

Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Современная радиоэлектроника. Вып. 3. Математические методы прикладной электродинамики. – М.: Советское радио, 1970.

Оглавление Глава I. Уравнения и проблемы электродинамики [4] 1.1. Уравнения Максвелла [4] 1.2. Векторные и скалярные потенциалы. Волновые уравнения [8] 1.3. Граничные условия [11] 1.4. Функция Грина и теорема эквивалентности [13] 1.5. Основные электродинамические задачи, единственность и существование их решения [16] 1.6. Общие сведения о методах решения задач электродинамики [19] Глава 2. Методы решения внутренних задач электродинамики [24] 2.1. Некоторые сведения о функционалах и операторах в гильбертовом пространстве [24] 2.2. Метод собственных функций в применении к волноводам. Построение системы собственных волн [29] 2.3. Метод собственных функций в применении к волноводам. Решение задачи о возбуждении волноводов [33] 2.4. Метод собственных функций в применении к резонаторам [35] 2.5. Метод интегральных преобразований в задаче о волноводе [38] 2.6. Вариационные методы в применении к анализу волноводов и резонаторов сложной формы [42] 2.7. Применение интегральных уравнений к анализу квазиоптических волноводов и резонаторов [52]

Оглавление (продолжение) Глава 3. Методы решения внешних электродинамических задач [57] 3.1. Методы собственных функций и интегральных преобразований [57] Возбуждение кругового цилиндра бесконечной длины [57] Возбуждение диэлектрического слоя на металлической подложке [65] Возбуждение волн в неоднородной среде [74] Другие задачи, решаемые методом собственных функций и методом интегральных преобразований [77] 3.2. Интегральные уравнения внешних задач электродинамики [78] 3.3. Асимптотический метод в квазистатической области [86] 3.4. Лучевые методы и их обобщения [88] 3.5. Волновые методы в квазиоптической области [98] 3.6. Метод фазовых интегралов (метод ВКБ) и метод эталонных уравнений [103] Глава 4. Методы решения задачи синтеза антенн [107] 4.1. Постановка задачи синтеза антенн [107] 4.2. Общие свойства диаграммы направленности прямолинейной тонкой антенны [109] 4.3. Методы решения интегрального уравнения задачи синтеза [112] Литература [115]

Информационные ресурсы по дисциплине – образовательный математический сайт; – сайт журнала «Компоненты и технологии»; – сайт журнала «Цифровая обработка сигналов»; – сайт государственного научно- исследовательского института информационных технологий и телекоммуникаций; - портал "Информационно-коммуникационные технологии в образовании" ; – сайт института информационных технологий; – сайт по стандартизации в области менеджмента проектов; ……

Стандарты ГОСТ Р ИСО и ГОСТ Р ГОСТ Р ИСО/МЭК – 2005 Информационная технология. Системная инженерия. Процессы жизненного цикла систем. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Руководство по оценке соответствия установленным требованиям. ГОСТ Р Изделия электронной техники. Порядок создания и постановки на производство. Основные положения. ГОСТ Р Уровни разукрупнения радиоэлектронных средств. Термины и определения. ГОСТ Р Система радионавигационная «Чайка». Формат передачи контрольно-корректирующей информации потребителям глобальных навигационных спутниковых систем. ГОСТ Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. ГОСТ Р Менеджмент риска. Применение марковских методов.

ГОСТ Р (Статистические методы) ГОСТ Р Статистические методы. Основные положения ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Точечная оценка и доверительный интервал для среднего ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Сравнение двух средних в парных наблюдениях ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Оценка медианы ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Мощность тестов для средних и дисперсий

Методологические основы моделирования Модели́рование исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Определения По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus мера) это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.» Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, с.

Классификация видов моделирования систем

Стандарты ГОСТ Р ИСО и ГОСТ Р ГОСТ Р ИСО/МЭК – 2005 Информационная технология. Системная инженерия. Процессы жизненного цикла систем. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Руководство по оценке соответствия установленным требованиям. ГОСТ Р Изделия электронной техники. Порядок создания и постановки на производство. Основные положения. ГОСТ Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Способность обнаружения. Методология определения критического значения отклика без использования данных калибровки.

Виды моделирования Информационное моделирование; Компьютерное моделирование; Математическое моделирование; Цифровое моделирование; Статистическое моделирование; Структурное моделирование; ……. Примечание: Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

ГОСТ Р ИСО Понятия, относящиеся к процессам и продукции (3.4)

Процесс моделирования Процесс моделирования включает три элемента: субъект (исследователь), объект исследования, модель, определяющую (отражающую) отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Моделирование многоэтапный, циклический процесс: первый этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале; на втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования; на третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал формирование множества знаний; четвёртый этап практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Принципы моделирования 1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об объекте построить модель невозможно. При наличии полной информации моделирование лишено смысла. Существует уровень информационной достаточности, при достижении которого может быть построена модель системы. 2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования за конечное время. 3. Принцип множественности моделей. Любая конкретная модель отражает лишь некоторые стороны реальной системы. Для полного исследования необходимо построить ряд моделей исследуемого процесса, причем каждая последующая модель должна уточнять предыдущую. 4. Принцип системности. Исследуемая система представима в виде совокупности взаимодействующих друг с другом подсистем, которые моделируются стандартными математическими методами. При этом свойства системы не являются суммой свойств ее элементов. 5. Принцип параметризации. Некоторые подсистемы моделируемой системы могут быть охарактеризованы единственным параметром: вектором, матрицей, графиком, формулой.

Классификация моделей По характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

Классификация моделей По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

Примеры математических моделей 1.Задачи о движении снаряда; 2. Задача о коммивояжере; 3. Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ 4. Задача об определении надежности электрической цепи

Задача 1: Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории. Решение: Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y вертикально ……

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами: где t время, g = 10 м/с 2 ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда: Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Задача 2: Коммивояжеру, живущему в городе A 1, надо посетить города A 2, A 3 и A 4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы: b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60. Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Решение. Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах. Получился граф математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1, V 2,..., V k, V 1 такая, что вершины V 1,..., V k различны, а любая пара вершин V i, V i+1 (i = 1,..., k – 1) и пара V 1, V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1 : 1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1 ; 2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1 ; 3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1. Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины это первый.

Задача 3. Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2...), связанных между собой так, как показано на рисунке для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений: y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°. Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений.

Решение. Предположим, что эта зависимость имеет вид y » an + b, где a, b константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем: – 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b. Для определения наилучших a и b существует много разных методов.

Задача 4. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной. Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 0,612. Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3 ) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Учебное задание Изучить требования ФГОС и содержание ООП по направлению «Радиотехника» (магистр); Изучить содержание рабочей программы по дисциплине «Методы математического моделирования»; Познакомиться с содержанием книги «Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики». Примечание: учебные материалы размещены на портале НовГУ (учебные материалы > Исаев Владимир Александрович > папка МММ > …)

Список литературы 1.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, – 496 с. 2. Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, – 295с. 3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, – 320 с. 4. Введение в математическое моделирование. Под ред. П.В. Трусова, В Н. Ашихмина и др. - М.: Логос, с. 5. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебное пособие. 7-е изд. – М.: Изд-во «Юрайт», – 343с. 6. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. – М.: Изд-во «Юрайт», – 296с. 7. Васильев К.К., Служивый М.Н. Математическое моделирование систем связи. – Ульяновск: УлГТУ, – 170с.

Список литературы (продолжение) 8. Гультяев А.К. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. – СПб.: КОРОНА принт, с. 9. Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ, – 35с. 10.Минаков А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем. Учебное пособие. – СПб.: ГУАП, – 100с. 11. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. – М.: Высшая школа, с. 12.Бримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов В.Л. Планирование эксперимента при исследовании случайных полей и процессов. – М.: Наука, 1980.

Список литературы (продолжение) 13. Лебедев А.Н. и др. Методы цифрового моделирования и идентификации стационарных случайных процессов в информационно-измерительных системах. – Л.: Энергоатомиздат, – 64с. 14. Ганеев Р.М. Математические модели в задачах обработки сигналов. – М.: Горячая линия - Телеком, с. 15. ГОСТ Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. 16. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций. 17. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Способность обнаружения. Методология определения критического значения отклика без использования данных калибровки.

Список литературы (продолжение) 18. ГОСТ Р Менеджмент риска. Термины и определения. 19. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Последовательные планы выборочного контроля по альтернативному признаку. 20. ГОСТ Р ИСО Статистические методы. Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку для процента несоответствующих единиц продукции (стандартное отклонение известно). 21. ГОСТ Р Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах. 22. ГОСТ Р Качество данных. Часть 100. Основные данные. Обмен данными характеристик. Обзор.

Приложение 1 Глоссарий по дисциплине «Методы математического моделирования»

Глоссарий по математическому моделированию Модели́рование исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Компьютерная модель (англ.computer model), или численная модель (англ. computational model) компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров(вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы.

Глоссарий по математическому моделированию Имитационное моделирование – воспроизведение (имитация) процессов функционирования исследуемой (моделируемой) системы, с соблюдением основных закономерностей их логики и временнóй последовательности. Вид математического моделирования. Как правило, имитационное моделирование реализуется средствами вычислительной техники и используется при моделировании сложных (нелинейных, стохастических, с большим числом элементов и связей между ними) систем, для которых невозможно построить аналитическую модель. Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных траекторий динамики моделируемого объекта. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние объекта или параметры модели) и рассчитывается одна траектория.

Глоссарий по математическому моделированию То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, в каких случаях (при каких значениях начальных условий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.

Глоссарий по математическому моделированию Граф это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

Приложение 2 Образовательный математический сайт Кирьянов Д.В. Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (около часа экранного видео).

Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (в свободном доступе) Урок 1. Основные сведения о Mathcad Урок 2. Управление файлами Урок 3. Устройство интерфейса Mathcad Урок 4. Ввод формул Урок 5. Типы данных Урок 6. Операторы и функции Урок 7. Пример: алгебраические вычисления Урок 8. Пример: производные и интегралы Урок 9. Пример: алгебраические уравнения Урок 10. Пример: дифференциальные уравнения

Приложение 3 StatSoft, Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. WEB:

Содержание электронного учебника по статистике - Элементарные понятия статистики -Основные статистики -…… -Анализ процессов -…… -Дискриминантный анализ -Дисперсионный анализ -…… -Множественная регрессия -…… -Непараметрические методы -Планирование эксперимента -Факторный анализ

Спасибо за внимание! Тел.: (8162)