Методы математического моделирования Дисциплина для магистерской подготовки по направлению «Радиотехника» Автор: Исаев Владимир Александрович, к.т.н., доцент Великий Новгород, 2012

Лекция 6 ( ) Анализ одной и двух нормальных выборок

Введение Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и математической статистике. Как показывает практика, самые разнообразные статистические данные с хорошей степенью точности можно считать выборками из нормального распределения. Примерами могут служить помехи в электроаппаратуре, ошибки измерений, разброс попадания снарядов при стрельбе по заданной цели, скорость реакции на раздражитель и т.д. Ранее отмечалось, что можно предполагать нормальное распределение у случайной величины, если на ее отклонение от некоторого заданного значения влияет множество различных факторов, причем влияние каждого из них вносит малый вклад в это отклонение, а их действия независимы или почти независимы. Примечание: В силу центральной предельной теоремы и ее разновидностей распределение целого ряда широко распространенных в статистике функций от случайных величин (статистик, оценок) хорошо аппроксимируется нормальным распределением.

Глазомерный метод проверки нормальности Для того, чтобы убедиться, что выборка действительно имеет нормальный характер распределения (т.е. о ней можно говорить как о выборке из гауссовского распределения с некоторыми значениями a и σ 2 ), можно использовать простой графический прием представления данных. В его основе лежат следующие рассуждения: - Для проверки гипотезы о нормальном характере закона распределения выборки x1,..., xn воспользуемся тем, что выборочная функция распределения Fn(x) при больших объемах выборки n равномерно близка к теоретической функции распределения. Для удобства дальнейших рассуждений перейдем от выборки к вариационному ряду x(1),..., x(n). - Ранее было отмечено, что Fn(x)кусочнопостоянная функция, которая в каждой из точек xi совершает скачок, равный 1/n ……

Значения скачков эмпирической функции распределения Fn(x) на плоскости (x, z) (вдоль оси ординат приведены значения Φ(z) в процентах)

Оценка параметров нормального распределения и их свойства В практических задачах часто возникает необходимость проверки гипотез, связанных со значениями параметров одной или нескольких нормальных выборок. Решение этих задач основано на свойствах оценок параметров нормального распределения a и σ 2. Поэтому прежде чем формулировать постановки задач, связанных с проверкой гипотез,необходимо изучить свойства оценок параметров нормального распределения: - Свойства выборочного среднего; - Точность оценивания; - Оценка среднего при неизвестной дисперсии. Пусть x1,..., xn выборка из нормального распределения с параметрами a и σ 2. ……

Квантили стандартного нормального распределения

ГОСТ Р (Статистические методы) ГОСТ Р Статистические методы. Основные положения ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Точечная оценка и доверительный интервал для среднего ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Сравнение двух средних в парных наблюдениях ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Оценка медианы ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Мощность тестов для средних и дисперсий

Учебное задание Познакомиться с содержанием учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с.; Изучить содержание разделов 5.2 «Глазомерный метод проверки нормальности» и 5.3 «Оценка параметров нормального распределения и их свойства»учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере; Познакомиться с содержанием ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение Примечание: учебные материалы размещены на портале НовГУ (учебные материалы > Исаев Владимир Александрович > папка МММ > …)

Список литературы 1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с. 2. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учеб. пособие для вузов по специальности ЭВМ /Под ред. А.Н.Лебедева и Е.А.Чернявского. – М.: Высшая школа, – 312 с. 3.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, – 496 с. 4. Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, – 295с. 5. Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ, – 35с. 6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, – 320 с.

Список литературы (продолжение) 7. Введение в математическое моделирование. Под ред. П.В. Трусова, В Н. Ашихмина и др. - М.: Логос, с. 8. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. - М.: Информационно-издательский дом "Филинь", с. 9. Халафян А.А. Статистический анализ данных. STATISTICA е изд. испр. и доп. - Краснодар: КубГУ, с. 10. ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение. 11. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, – 328 с. 12. Алиев Т.И., Муравьева-Витковская Л.А., Соснин В.В. Моделирование: задачи, задания, тесты. – СПб: НИУ ИТМО, – 197 с.

Приложение 1 Глоссарий по дисциплине «Методы математического моделирования»

Глоссарий по математическому моделированию Модели́рование исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Компьютерная модель (англ.computer model), или численная модель (англ. computational model) компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров(вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы.

Глоссарий по математическому моделированию Имитационное моделирование – воспроизведение (имитация) процессов функционирования исследуемой (моделируемой) системы, с соблюдением основных закономерностей их логики и временнóй последовательности. Вид математического моделирования. Как правило, имитационное моделирование реализуется средствами вычислительной техники и используется при моделировании сложных (нелинейных, стохастических, с большим числом элементов и связей между ними) систем, для которых невозможно построить аналитическую модель. Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных траекторий динамики моделируемого объекта. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние объекта или параметры модели) и рассчитывается одна траектория.

Глоссарий по математическому моделированию То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, в каких случаях (при каких значениях начальных условий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.

Глоссарий по математическому моделированию Граф это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

Приложение 2 Образовательный математический сайт Кирьянов Д.В. Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (около часа экранного видео).

Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (в свободном доступе) Урок 1. Основные сведения о Mathcad Урок 2. Управление файлами Урок 3. Устройство интерфейса Mathcad Урок 4. Ввод формул Урок 5. Типы данных Урок 6. Операторы и функции Урок 7. Пример: алгебраические вычисления Урок 8. Пример: производные и интегралы Урок 9. Пример: алгебраические уравнения Урок 10. Пример: дифференциальные уравнения

Приложение 3 StatSoft, Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. WEB:

Содержание электронного учебника по статистике - Элементарные понятия статистики -Основные статистики -…… -Анализ процессов -…… -Дискриминантный анализ -Дисперсионный анализ -…… -Множественная регрессия -…… -Непараметрические методы -Планирование эксперимента -Факторный анализ

Спасибо за внимание! Тел.: (8162)