Модель передачи информации в популяции переменной численности

Рассмотрим модель передачи информации в популяции, численность которой может изменяться с течением времени. – количество обученных особей в момент времени t; – количество необученных особей; – общее количество особей в популяции – удельный вес обученных особей; – удельный вес необученных; – коэффициент размножения необученных особей и коэффициент смертности обученных, ; – коэффициент передачи информации,. При сделанных гипотезах динамика численностей задается системой уравнений: (5.7). Математическое моделирование процессов отбора 2

-правые части системы (5.7) удовлетворяют условию Липшица в области неотрицательных значений переменных v и z, кроме точки (0,0). -в точке (0,0) значения правых частей можно непрерывно доопределить нулем, сохраняя при этом выполнение условия Липшица. - система однородна по переменным v,z. - для (5.7) выполняются условия квазиположительности при любых неотрицательных начальных условиях ее решение будет неотрицательным. Математическое моделирование процессов отбора 3

Нормирующая замена:,, тогда (5.8) Система на стандартном симплексе, представленная через функции перехода и Математическое моделирование процессов отбора 4

Если, т.е., то при Если, т.е., то при Если, то любая точка симплекса является стационарной, с течением времени пропорция обученных и необученных особей в популяции не изменяется. Математическое моделирование процессов отбора 5

Исследуем поведение исходной системы (5.7). – общая численность популяции., Из (5.7) получим: Математическое моделирование процессов отбора 6

Если, то начиная с некоторого момента (кроме случая ), поэтому w 0 v 0, z 0. Математическое моделирование процессов отбора 7

Если, то, начиная с некоторого момента, (кроме случая ), поэтому w, v. Численность же обученных может изменяться по-разному. Перепишем второе уравнение системы (5.7) в виде Математическое моделирование процессов отбора 8

- : 1 начиная с некоторого момента и z ; - : для любого t z монотонно убывает. Если, то z 0; - : система (5.7) принимает вид:, Поделим втрое уравнение на первое.. Решая, получим:, где p определяется из начальных условий. Т.к. v, то z. Математическое моделирование процессов отбора 9

- : не зависят от t, поэтому рассмотрим начальные условия: 1. : w 0, z 0, v 0; 2. : w, z, v не изменяются; 3. : w, z, v. Математическое моделирование процессов отбора 10

Математическое моделирование процессов отбора 11

Как следует из предыдущей главы, для оценки существования системы носителей информации могут быть использованы следующие функционалы Пусть,,. Решим задачу параметрической оптимизации с указанными критериями. max: max при,>

max: max при Математическое моделирование процессов отбора 13

Найдем значение параметра u, при котором критерий принимает наибольшее значение. Из уравнений (5.8) следует, что. Поскольку c – постоянная, то. max при Математическое моделирование процессов отбора 14

Рассмотрим задачу максимизации критерия при выборе параметра u. Из уравнений (5.7) следует, что При sup, но эта точная верхняя грань не достигается. Для максимизации критерия в случае, когда, значение параметра u следует выбирать сколь угодно близко к, оставляя его меньше Математическое моделирование процессов отбора 15

Проведенный анализ показывает, что решения задач оптимизации с разными критериями будут различными. Более того, рекомендации будут противоположными: для максимизации величину u нужно выбирать больше, выбор дает наихудший результат; для максимизации величину u нужно выбирать меньше, выбор дает наихудший результат. Такие противоречия происходят из-за того, что здесь имеет место особый случай – величина z, характеризующая количество самовоспроизводящихся объектов системы, при некоторых вариантах поведения может стремиться к нулю или бесконечности. Математическое моделирование процессов отбора 16