Системы близкие к системам отбора

Введение С точки зрения практики бывает нецелесообразно различать случаи, когда в системе на стандартном симплексе: Например, у твердого тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, происходят микроскопические ф флуктуации – отклонения от абсолютно равномерного нагрева. В обыденной жизни эти флуктуации никто не замечает, и считается, что температура тела во всех точках одинакова. В связи с этим имеет смысл выделить класс систем, близких по своему поведению к системам строгого отбора. 2 Математическое моделирование процессов отбора

Определение Система на стандартном симплексе S является близкой к системе отбора, если существует положительное число ε (0 1-ε, t>T. x 1 (t)>1-ε для всех t>T 3 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 1 Автономная система на стандартном симплексе S является близкой к системе отбора, если выполнено условие: Система близкая к системе отбора Система близкая к системе отбора еслито F 1 (x)>0 для 4 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство x 1 =1-ε F 1 (x) непрерывна на компакте К: x 1 =x 1 (t 0 ) x 2 =ε/2 x 3 =ε/2 x 1(t0)>0 Если F1(x) β>0 x1(t)> 1-ε при t=T=t0+(1-ε)/β К то из x 1 (t)> β(t-t 0 ) 5 Математическое моделирование процессов отбора

При всех значениях t>T справедливо неравенство x 1 (t) 1-ε. Покажем это. Предположим обратное: пусть t 2 >T тогда, так как T t 1 T тогда, так как T t 1 < t 2 x 1 (t 2 )

Теорема 2 Система, где Ф i (x) – квазиположительные, положительно однородные функции, является близкой к системе отбора, если выполнено условие при 0

Доказательство Поскольку в некоторой точке области, вырезаемой Предположим из стандартного симплекса условием 0< x 1 1-ε. Для : Отношение Ф 1 (x) / x 1 ограниченно в рассматриваемой области, необходимо выполнение условий: Ф 1 x i = Ф i x 1, Ф 1 x i = Ф i x 1, Просуммировав отдельно правые Ф 1 x i >Ф i x 1 и левые части этих неравенств при по всем индексам, получим Это означает выполнение требования теоремы 1: требования теоремы 1: Теорема доказана. x11x11x11x11 8 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 3 Для того чтобы система была близкой к системе отбора, достаточно, чтобы выполнялись неравенства при. система близкая к системе отбора еслидлято 9 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство Решение системы принадлежит симплексу. Из Выполнены требования теоремы 1. Теорема доказана. 10 Математическое моделирование процессов отбора

Пример 1 Рассмотрим систему на стандартном симплексе. а i – положительные константы, а 1 > а 2 >… > а n ; а i – положительные константы, а 1 > а 2 >… > а n ; µ - некоторый параметр, 0

Пример 2 Модель «хищник-n жертв» с учетом возможности возникновения мутации. Данная модель описывается системой: a i, k, b, s – положительные постоянные; a i, k, b, s – положительные постоянные; начальные условия: z i (t 0 )=z i 0, y(t 0 )=y 0,. начальные условия: z i (t 0 )=z i 0, y(t 0 )=y 0,. Замена: От системы переходим к рассмотрению динамики удельных численностей жертв: Покажем, что для этой системы что для этой системы справедливо требование теоремы 3: справедливо требование теоремы 3: жертвы j-го вида с вероятностьюf ij потомство генотипа i 12 Математическое моделирование процессов отбора

Оценим правую и левую части неравенства при условиях:,, Обозначив: неравенство перепишется в виде неравенство перепишется в виде Если θ>0, то условие справедливо для следующих ε: Если коэффициенты f ij, а i таковы,что выполнено следующее неравенство, то система близка к системе отбора в силу теоремы 3. где D=(a 1 -a 2 f 11 ) 2 -4θa 1 (1-f 11 ). 13 Математическое моделирование процессов отбора

Рассмотрим динамику влияния параметров на область определения ε. минимальное значение ε f 11 а1а1 Данный результат свидетельствует о том, что увеличение коэффициента размножения жертв первого вида, а так же увеличение вероятности того, что потомство первого вида жертв будет принадлежать этому же классу, ведет к увеличению удельной численности жертв первого вида среди остальных жертв. а1а1 а2а2 аnаn f 11 ε 6310,9(0,22;1) 6310,95(0,1;1) 4310,9(0,44;1) 4310,95(0,21;1) 14 Математическое моделирование процессов отбора