Системы нестрого отбора. Систему на стандартном симплексе S будем называть системой нестрогого отбора, если найдутся номера i и j такие, что при любых.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Система строгого отбора. Теорема 1 (Интегральный критерий строго отбора). Для того чтобы система с наследованием (1) (2) являлась системой строгого отбора,
Advertisements

Неотрицательное решение задачи Коши. Нередко постановка задачи требует чтобы фазовые переменные принимали лишь неотрицательные значения. Так, в физических.
Сохранение суммы фазовых координат. Важный частный случай представляют системы, в которых в течение всего процесса сохраняется постоянной сумма значений.
Представление систем на стандартном симплексе. 2 Определение. Вид системы называется заданием системы на стандартном симплексе через функции (1) положительно.
Системы с наследованием. Если систему можно представить в виде : Где - непрерывные функции, то такая система называется системой с наследованием. Математическое.
Системы отбора. Условные обозначения (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Математическое моделирование процессов отбора2.
Методы приведения к системе на стандартном симплексе.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Теоремы Ляпунова. Система дифференциальных уравнений в нормально форме относительно функций : (1) на симплексе Выразим первую переменную через остальные:
Функция Ляпунова для моделей химической кинетики.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Модель передачи информации в популяции переменной численности.
{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый.
Математические модели Динамические системы. Модели Математическое моделирование процессов отбора2.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Системы линейных ДУ: однородные системы Лектор Пахомова Е.Г г.
Системы близкие к системам отбора. Введение С точки зрения практики бывает нецелесообразно различать случаи, когда в системе на стандартном симплексе:
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Транксрипт:

Системы нестрого отбора

Систему на стандартном симплексе S будем называть системой нестрогого отбора, если найдутся номера i и j такие, что при любых начальных условиях, принадлежащих симплексу, для которых x j (t 0 )0, i-тая компонента решения стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности. Систему вида при выполнении условия будем везде далее называть системой с наследованием. Начальные условия: Пусть задана непрерывная функция ξ(t) для t 0t

Следствие 1. Если в системе функции Φ i удовлетворяют условию квазиположительности в виде равенства при неотрицательных компонентах z и произвольных компонентах y, начальные условия нетривиальны и неотрицательны по z, то решение задачи Коши будет нетривиальным и неотрицательным по переменным z. Нулевым компонентам в начальных условиях будут соответствовать нулевые компоненты z i (t)0 в решении. начальные условия 3 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 1. Пусть система на стандартном симплексе задана через функции перехода Φ i (t,x). Тогда отношения компонент её решения удовлетворяют уравнениям Если x i (t), x j (t) ни в один момент времени не обращаются в ноль. 4 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 2. Для того, чтобы система с наследованием, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись номера i и j такие, что вдоль любой фазовой траектории системы, соответствующей начальным условиям, удовлетворяющим неравенствам 0<

Из Следствия 1 вытекает, что x i (t), x j (t) в ноль не обращаются для всех tt 0.Следствия 1 Согласно Теореме 1 при tt 0Теореме 1 Если выполнено равенство то перейдя к пределу: Так как величина x j (t) ограничена, то Что и требовалось доказать. 6 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 3. Для того, чтобы система с наследованием, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j, для которых вдоль фазовых траекторий системы, отвечающих начальным условиям с ненулевыми координатами было справедливо неравенствосистема с наследованиемсистемой нестрогого отбора 7 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство. Обозначим q>0, тогда что по предыдущей теореме дает достаточное условие нестрогого отбора. 8 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 4. Для того, чтобы система с наследование, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j такие, что вдоль любой траектории системы, соответствующей начальным условиям, для которых пределсистема с наследованиесистемой нестрогого отбора существует и является строго большим нуля либо равным +. 9 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство. если q>0, то начиная с некоторого момента времени t* при T>t* что по теореме 2 влечет условия нестрогого отбора.теореме 2 если q=+ неравенство выполняется для любого положительного числа, что приводит к выполнению условия нестрогого отбора. 10 Математическое моделирование процессов отбора

Следствие 2. Для того, чтобы система с наследование, являлась сиcтемой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j такие, что вдоль любой траектории системы, соответствующей начальным условиям, для которых было верно неравенство система с наследованиесиcтемой нестрогого отбора Справедливость следствия очевидна. Отметим, что существуют временные средние, равные соответствующим пределам 11 Математическое моделирование процессов отбора

Утверждение. Если некоторая непрерывная функция ξ(t) имеет предел, то её временное среднее совпадает с этим пределом. Применяя правило Лопиталя, имеем что и требовалось показать. 12 Математическое моделирование процессов отбора