Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур М.С.Жолудев научные руководители: д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко

Содержание Введение Описание однородных полупроводников – kp-метод – модель Кейна Учет неоднородностей – плавное поле – гетероструктуры Примеры расчетов

1. Введение

Введение гамильтониан электрона в кристалле: R – вектор прямой решетки

Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: собственная функция: R – вектор прямой решетки медленная огибающая быстро осциллирующая периодическая часть

Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: собственная функция: уравнение для блоховских функций: R – вектор прямой решетки

гамильтониан электрона в кристалле: собственная функция: уравнение для блоховских функций: … и его решения: Теорема Блоха R – вектор прямой решетки

Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: собственная функция: уравнение для блоховских функций: … и его решения: R – вектор прямой решетки частично можем получить из эксперимента

Выводы Нельзя вычислить зонную структуру непосредственно решая уравнение Шредингера, т.к. периодический потенциал неизвестен Часть информации о зонной структуре можно получить из эксперимента, а остальное «достроить» с помощью приближенных методов

2. kp-метод

kp-гамильтониан

Базис блоховских функций

Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию

Базис Кона-Латтинжера Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше

Базис Кона-Латтинжера Базис для периодических функций: По нему можно разложить любую периодическую функцию: – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше

Базис Кона-Латтинжера Базис для периодических функций: Базис Кона-Латтинжера: – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше

Теория возмущений возмущение

Теория возмущений 2-й порядок 1-й порядок

Теория возмущений 2-й порядок 1-й порядок или зона проводимости всегда получается параболической

kp-метод Зависимость энергии от k рассматривается как возмущение, вызванное влиянием других зон Эта зависимость аппроксимируется некоторой функцией, параметры которой извлекают из экспериментальных результатов. Невырожденная зона всегда получается параболической

3. Модель Кейна Evan O. Kane,Band structure of indium antimonide, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)

Модель Кейна возмущение

Модель Кейна возмущение

Модель Кейна возмущение

Гамильтониан Кейна – матрица Уравнение Шредингера: Векторная запись волновой функции: где

Гамильтониан Кейна возмущение

Гамильтониан Кейна (фрагмент) энергия в Г-точке

Гамильтониан Кейна (фрагмент) энергия в Г-точке взаимодействие базисных функций +

Гамильтониан Кейна (фрагмент) энергия в Г-точке взаимодействие базисных функций ++ возмущение

Гамильтониан Кейна

Гамильтониан Кона-Латтинжера

Гамильтониан Кейна Точный учет взаимодействия зоны проводимости и валентной зоны

Модель Кейна Явно учитывает несколько зон, которые имеют разную энергию даже в нулевом приближении Взаимодействие между этими зонами входит в гамильтониан точно Поправки к энергии, связанные с влиянием далеких зон рассматриваются как возмущение Модель учитывает непараболичность зоны проводимости

kp-метод для зоны проводимости модель Кейна базис – одна функциябазис – 8 функций периодическая часть ψ не зависит от k периодическя часть ψ зависит от k непосредственного взаимодействия между базисными функциями нет непосредственное взаимодействие между базисными функциями учитывается точно влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение зона проводимости параболическая зона проводимости непараболическая валентная зона не рассматривается валентная зона учитывается 3 зоны

kp-метод для валентной зоны модель Кейна базис – 4 или 6 функцийбазис – 8 функций периодическая часть ψ зависит от k периодическя часть ψ зависит от k непосредственного взаимодействия между базисными функциями нет непосредственное взаимодействие между базисными функциями учитывается точно влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение зона проводимости не рассматривается зона проводимости непараболическая валентная зона учитывается 2 или 3 зоны валентная зона учитывается 3 зоны

4. Неоднородные системы

Плавный потенциал Плавный потенциал можно разложить по плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна: Кулоновский потенциал мелкой примеси является плавным вдали от центра

Плавный потенциал огибающие – плавные функции: J. M. Luttinger and W. Kohn,Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields, Phys. Rev. 97, 869 (1955)

Гетероструктура Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным

Кусочно-гладкое решение Материал AМатериал B 1. Находим огибающие для каждой однородной области 2. Сшиваем решения на границах правильно – сшивать полные волновые функции: граничные условия: непрерывность полной волновой функции и ее производной

Кусочно-гладкое решение Материал AМатериал B 1. Находим огибающие для каждой однородной области 2. Сшиваем решения на границах приходится сшивать огибающие граничные условия – основная проблема

Опорный кристалл

Опорный потенциал V 0 является периодическим для всей структуры. Его блоховские функции – базис, по которому раскаладывается волновая функция электрона.

Опорный кристалл возмущение

Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры M. G. Burt,The justification for applying the effective-mass approximation to microstructures, J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)

Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры Волновая функция имеет тот же вид, что и в случае плавного потенциала:

Разложение волновой функции Блоховские функции опорного потенциала одинаковы для всей структуры Волновая функция имеет тот же вид, что и в случае плавного потенциала: Уравнение Шредингера записывается для всей структуры

Полный гамильтониан Вместо волнового вектора используется дифференциальный оператор. Он не коммутирует с эффективной массой, которая зависит от координат. Граничные условия для огибающей содержатся в гамильтониане.

Полный гамильтониан Явный вид гамильтониана неизвестен, поэтому используются простые модели:

Расчет для неоднородной системы В случае плавного потенциала достаточно перейти от алгебраический уравнений к дифференциальным заменой k на В гетероструктуре нет общего базиса блоховских функций

Кусочно-гладкое решение Можно решать уравнение отдельно для каждого материала Граничные условия неизвестны как и блоховские функции Граничные условия нужно выбирать исходя из каких-нибудь дополнительных соображений

Опорный кристалл Можно выбрать опорный кристалл и использовать его блоховские функции, рассматривая различия материалов как возмущение Гамильтониан описывает всю структуру и не нужно сшивать решения на границах Правильный гамильтониан неизвестен, и потому используются различные модели (эквивалентно выбору граничных условий)

Гетероструктура Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным Это существенно для узких ям высокого качества (например GaAs/AlAs)

5. Примеры расчетов

Уровни энергии в квантовой яме HgTe/CdTe

Зонная структура КЯ Hg 0.86 Cd 0.14 Te/Cd 0.7 Hg 0.3 Te

Методы расчета зонной структуры квантовых ям Кусочно-гладкое решение Полный гамильтониан трансфер-матрица матрица рассеяния разложение по полному ортонормированному базису

трансфер-матрицаматрица рассеяния связывает амплитуды огибающих на правой и левой границе структуры связывает амплитуды огибающих для решений, распространяющихся внутрь структуры и наружу используется умножение матриц используется умножение и обращение матриц метод неустойчивметод устойчив

Применение различных методов дискретный спектр непрерывный спектр метод матрицы рассеяния требует поиска нулей функции позволяет найти решение с любой наперед заданной энергией разложение по полному базису дает сразу все уровни всегда получается дискретный спектр

Другие пути Разложение по большому числу зон без kp-возмущения (гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8) Разложение по блоховским функциям нескольких точек Γ, X, L, … Учет поправок, связанных с резким потенциалом Расчеты из первых принципов – попытка подобрать вид периодического потенциала