Если на сторонах АВ, ВС и СА треуголь- ника АВС взяты соответственно точки С 1, А 1 и В 1, то отрезки АА 1,ВВ 1 и СС 1 пе- ресекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: На главную

В С1С1 А В1В1 С А1А1 О Доказательство: Пусть отрезки АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О. (Рис. 1) По теореме о пропорциональных отрезках в треуголь- нике имеем: Левые части этих неравенств одинаковы, значит, ра- вны и правые части. Приравнивая их, получаем: Разделив обе части на правую часть, приходим к ра- венству: Что и требовалось доказать. На главную Рис. 1 и

Докажем обратное утверждение: Пусть точки С 1, А 1 и В 1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство: Докажем, что отрезки АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. На главную

Доказательство: Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 и проведём прямую СО (рис. 2). Она пересекает сто- рону АВ в некоторой точке, которую обозначим С 2. Так как отрезки АА 1, ВВ 1 и СС 2 пересекаются в одной точке, то имеем уже доказанное выше равенство: Итак имеют место неравенства: и Сопоставляя их приходим к равенству которое показывает, что точки С 1 и С 2 делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки С 1 и С 2 совпада- ют, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Что и требовалось доказать. На главную Рис. 2, В С2С2 А В1В1 С А1А1 О

На главную Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD AB+CD = BC+AD. Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, AB и BC, поэтому можно про- вести окружность с центром О, касающую- ся указанных трех сторон. Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырехуголь- ник ABCD.

О А В С D C1C1 D1D1 D О А В С Рис. 3 Рис. 4 Доказательство: Предположим, что окружность не касается стороны CD. Тогда прямая СD, либо не имеет общих точек, либо яв- ляется секущей. Проведем касательную С 1 D 1 параллель- ную стороне CD (Рис. 4). Так как ABC 1 D 1 – описанный четырехугольник, то по свойству его сторон: AB+ С 1 D 1 = BC 1 + AD 1 (1) Но BC 1 = BC-СС 1, AD 1 = AD-DD 1, поэтому из равенства (1) получаем: С 1 D 1+ С 1 С 1 + DD 1 = BC+AD-АВ Правая часть этого равенства в силу AB+CD = BC+AD равна CD. Таким образом приходим к равенству С 1 D 1+ С 1 С + DD 1 = CD, т.е. в четырехугольнике С 1 CDD 1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, зна- чит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать. Что прямая CD не может быть секущей ок- ружности. Следовательно, окружность касается стороны CD. Что и требовалось доказать. На главную

Дано:, CO – медиана, Решение: О – центр описанной окружности, т.к. О – середина гипотенузы. 1) ; - равнобедренный, 2) Аналогично Ответ: А О В С 1 2

Дано: - прямоугольный, CH – высота, CK – биссектриса, CC 1 – медиана. Доказательство: 1)Т.к. - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке С 1 (т.к. СС 1 – медиана), АС 1 =С 1 В=СС 1 =R 2) ~, т.к. - равнобедренный 3), т.к. СК – биссектриса, тогда Что и требовалось доказать На главную А НКС1С1 2 В С