Многочлены Выполнила: Ученица 10Б класса МБОУ Лицей1 Смаль Мария

Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. С их изучением связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел появление теории групп как раздела математики выделение классов специальных функций в анализе. В необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место. Однако это первое впечатление обманчиво. Многочлены, действительно, предельно просты. Известный математик – вычислитель Р.В.Хемминг в своей книге «Численные методы» пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами».

Цель моей работы состоит в том, чтобы систематизировать знания по данной теме и продемонстрировать их применяя при решении заданий повышенной сложности, в том числе олимпиадных.

Что же такое многочлен? Это алгебраическая сумма одночленов или выражение, составленное из чисел, букв (переменных) и операций сложения, вычитания и умножения. существуют некоторые приемы, которые помогают раскладывать многочлены на множители. Это: -вынесение общего множителя за скобки; -применение формул сокращенного умножения; -способ группировки; -разложение квадратного трехчлена по формуле ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного трехчлена ax2+bx+c =0.

Между корнями многочлена P(x)существуют зависимости, которые называются формулами Виета:

Применение теории многочленов к решению задач Рассмотрим на различных примерах применение теории многочленов к решению задач.

Вычислите значение многочлена при Пример 1

Так как вычислять многочлены приходится часто, то важно научиться делать это как можно проще. Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы вынесением за скобки х всюду, где это возможно:

Получается: Это правило можно записать в виде таблицы 11/4-1/201 -3/41-1/2-1/83/32119/128 Следовательно,

Пример 2 Найти остаток при делении многочлена x 6 -4x 4 +x 3 -2x 2 +5 на (x+3)

Если выполнить деление уголком, то оно займет слишком много времени и места. Но в результате, мы узнаем не только остаток, но и частное, которое искать не надо. Поэтому не будем делать лишнюю работу, а воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток равен f(-3)= (-3)6-4(-3)4+(-3)3-2(-3)2+57=365

При каком a многочлен f(x)=2х 3 -ax+3 делится на (x-3) без остатка Пример 3

Если f(x)=2x 3 -ax+3 делится на (x-3) без остатка, то 3- корень многочлена 2x 3 -ax+3, т.е. f(3)=0. Подставим х=3 и f(x)=0. в формулу f(x)=2x 3 -ax+3. Получим что a=19.

Пример 4 Известно, что корни уравнения Составить новое уравнение корнями которого были бы числа

Пусть искомое уравнение Тогда по формулам Виета: Видно, что a, b, c выражаются через комбинации корней исходного уравнения, определяемые формулами Виета Тогда Таким образом, искомое уравнение

Знание данного материала систематизирует и углубляет знания учащихся, дает возможность самостоятельно подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, расширяет кругозор учащихся старших классов, увлекает многих школьников предметом математики. Знание данного материала систематизирует и углубляет знания учащихся, дает возможность самостоятельно подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ, расширяет кругозор учащихся старших классов, увлекает многих школьников предметом математики. Этот материал можно применять для расширения кругозора учащихся старших классов, на уроках алгебры, на элективных курсах, выпускникам школ в целях самоподготовки к ЕГЭ.