Урок на тему: Теорема Фалеса Автор: Дятченко Татьяна Юрьевна Учитель математики ГОУ СОШ 15

Цель и задача урока Цель и задача урока Цель данного урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики. Цель данного урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики. Задачи: Задачи: - продемонстрировать возможности применения теоремы Фалеса в различных геометрических задачах - продемонстрировать возможности применения теоремы Фалеса в различных геометрических задачах - расширить представления о сферах применения полученных математических знаний; - расширить представления о сферах применения полученных математических знаний; - познакомиться с историческими сведениями об ученом Фалесе, о развитии математических знаний и их применениях - познакомиться с историческими сведениями об ученом Фалесе, о развитии математических знаний и их применениях

Фалес Фалес Фалес из Милета - первый древнегреческий мыслитель. По-видимому, он жил в годах до н.э. Он первый применил доказательство теорем и ввел их в обиход математики. Основатель милетской школы. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Фалес из Милета - первый древнегреческий мыслитель. По-видимому, он жил в годах до н.э. Он первый применил доказательство теорем и ввел их в обиход математики. Основатель милетской школы. Считался первым из Семи мудрецов Греции.

Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических предложений: Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических предложений: Вертикальные углы равны. Вертикальные углы равны. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами. Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами. Диаметр делит круг на две равные части. Диаметр делит круг на две равные части.

Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне С1С1 О B2B2 C2C2 A3A3 A1A1 A2A2 B1B1 B3B3

Доказательство: Пусть А 3 ОВ 3 – заданный угол, а А 1 В 1, А 2 В 2, и А 3 В 3 – попарно параллельные прямые и А 1 А 2 =А 2 А 3. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3. Проведем через точку В 2 прямую С 1 С 2 параллельную прямой А 1 А 3. По лемме А 1 А 2 =С 1 В 2, А 2 А 3 = В 2 С 2 и с учетом условия теоремы С 1 В 2 = В 2 С 2. Кроме того, В 1 С 1 В 2 = В 2 С 2 В 3 3– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1, А 3 В 3 и секущей С 1 С 2, а В 1 В 2 С 1 = С 2 В 2 В 3 как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников В 1 С 1 В 2 = В 3 С 2 В 2. Отсюда В 1 В 2 = В 2 В 3. Теорема доказана. Пусть А 3 ОВ 3 – заданный угол, а А 1 В 1, А 2 В 2, и А 3 В 3 – попарно параллельные прямые и А 1 А 2 =А 2 А 3. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3. Проведем через точку В 2 прямую С 1 С 2 параллельную прямой А 1 А 3. По лемме А 1 А 2 =С 1 В 2, А 2 А 3 = В 2 С 2 и с учетом условия теоремы С 1 В 2 = В 2 С 2. Кроме того, В 1 С 1 В 2 = В 2 С 2 В 3 3– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1, А 3 В 3 и секущей С 1 С 2, а В 1 В 2 С 1 = С 2 В 2 В 3 как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников В 1 С 1 В 2 = В 3 С 2 В 2. Отсюда В 1 В 2 = В 2 В 3. Теорема доказана.

Теорема Фалеса Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. A1A1 A2A2 A3A3 B1B1 B2B2 B3B3 l1l1 l2l2 B4B4 A4A4

Доказательство: Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки A 1 A 2, A 2 A 3, А 3 А 4 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках B 1, B 2, B 3, В 4 как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки B 1 B 2, B 2 B 3, В 3 В 4 равны друг другу. Докажем, что B 1 B 2 =B 2 B 3. Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки A 1 A 2, A 2 A 3, А 3 А 4 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках B 1, B 2, B 3, В 4 как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки B 1 B 2, B 2 B 3, В 3 В 4 равны друг другу. Докажем, что B 1 B 2 =B 2 B 3. Рассмотрим случай, когда прямые l 1 и l 2 параллельны. Тогда A 1 A 2 =B 1 B 2 и A 2 A 3 =B 2 B 3 как противоположные стороны параллелограммов A 1 B 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 B 3 A 3. Так как A 1 A 2 = A 2 A 3, то и B 1 B 2 =B 2 B 3. Теорема доказана. Рассмотрим случай, когда прямые l 1 и l 2 параллельны. Тогда A 1 A 2 =B 1 B 2 и A 2 A 3 =B 2 B 3 как противоположные стороны параллелограммов A 1 B 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 B 3 A 3. Так как A 1 A 2 = A 2 A 3, то и B 1 B 2 =B 2 B 3. Теорема доказана.

Применение теоремы Фалеса к решению задач Применение теоремы Фалеса к решению задач Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. AB F D C E

Доказательство: Пусть отрезок DE – средняя линия в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме Фалеса прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана. Пусть отрезок DE – средняя линия в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме Фалеса прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана.

Задача 1 Задача 1 Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ. Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ.

Решение: Решение: Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с. Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с. По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD. По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD. По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3. По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3. То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3. То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3. Ответ: 10 : 3. Ответ: 10 : 3.

Задача 2 Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и линейки на n равных частей. Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и линейки на n равных частей. A X B B1B1 B2B2 B3B3 A1A1 A2A2 A3A3

Решение: Проведем луч AX, не лежащий на прямой AB, и на нем от точки A отложим последовательно n равных отрезков АА 1, А 1 А 2, …,А n-1 A n, т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB. Проведем прямую A n B (точка А n – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки A 1, A 2,…, A n-1 и параллельные прямые прямой AnB. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B 1, B 2, …, B n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок AB на n равных частей. Проведем луч AX, не лежащий на прямой AB, и на нем от точки A отложим последовательно n равных отрезков АА 1, А 1 А 2, …,А n-1 A n, т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB. Проведем прямую A n B (точка А n – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки A 1, A 2,…, A n-1 и параллельные прямые прямой AnB. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B 1, B 2, …, B n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок AB на n равных частей.

Задача 3 Задача 3 Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2.

Решение: Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ в искомой точке Х. в искомой точке Х.

Заключение: В представленной работе рассмотрена теорема величайшего математика – ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в решении которых применяется различные варианты этой теоремы. В представленной работе рассмотрена теорема величайшего математика – ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в решении которых применяется различные варианты этой теоремы. Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данного урока и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление. Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данного урока и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление.