Векторы

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными: площадь, длина, объём, температура, работа, масса. Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными: сила, скорость, ускорение, перемещение точки. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор – направленный отрезок. В А начало вектора конец вектора - одинаково направленные - противоположно направленные

Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают. Длина вектора (длина модуль абсолютная величина) – расстояние между началом и концом. о бозначение: или ;

Векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые длины, называются противоположными. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. обозначение:

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами. Сумма векторов. правило треугольника Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго и будет суммой векторов. В С А

Аналогично определяется сумма трёх и более векторов. Каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом последнего и будет суммой векторов. Указанный способ построения суммы называется правилом замыкающей.

правило параллелограмма Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из одной общей точки. Построить на векторах параллелограмм. Тогда одна из диагоналей параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет суммой векторов.

Разность векторов. правило треугольника правило параллелограмма

Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора отложить из одной общей точки, соединить их концы. Результирующий вектор направлен к тому вектору, от которого вычитают.

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на число λ называется вектор, удовлетворяющий условиям:

Свойства линейных операций. закон коммутативности закон ассоциативности противоположный вектор

закон дистрибутивности относительно сложения чисел закон дистрибутивности относительно сложения векторов закон ассоциативности относительно умножения чисел

1. Построить векторы:

2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Найти вектор, равный A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Ответ:

3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Выразить через векторы вектор, если К- середина DD 1. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 K Ответ:

4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы если Р- середина ВС. A B C D О Р Ответ:

5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. A B C D Ответ: Выразить через векторы векторы: F E

Проекция вектора на ось. Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора, т.е. A B A1A1 B1B1 Еслиили, то

Угол φ между вектором и осью : φ 0 φ π

Основные свойства проекции. φ

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.