Неопределённый интеграл.

«Неберущиеся» интегралы «Неберущимся» называется интеграл, который не выражается через элементарные функции, т.е. его нельзя найти (интеграл «не берется»)

-интегралы Френеля (физика) -интегральные синус и косинус -интегральная показательная функция Примеры «неберущихся» интегралов: - интеграл Пуассона (теория вероятностей) - интегральный логарифм (теория чисел)

Определённый интеграл.

x y 0ab y = f(x) Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), x [a;b], параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ. x = a x = b Пусть y = f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b] Криволинейная трапеция. Понятие определённого интеграла.

x y 0 a=x0a=x0 b=x n y = f(x) Найдём площадь криволинейной трапеции. 1) Разобъем отрезок [a;b] точками x i (a = x 0

x y 0 a=x0a=x0 b=x n y = f(x) 5) Произведение равно площади прямоугольника с основанием Δ x i и высотой f( ξ i ). 6) Составим сумму всех таких произведений (интегральная сумма): x1x1 x i-1 xixi x n-1 7) Интегральная сумма приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

x y 0 a=x0a=x0 b=x n y = f(x) 8) Пусть длина наибольшего из отрезков [ x i-1 ;x i ]: 9) При интегральная сумма имеет предел x1x1 x i-1 xixi x n-1

x y 0ab y = f(x) Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции S определённый интеграл

- определённый интеграл - подынтегральная функция - подынтегральное выражение х – переменная интегрирования a– нижний предел интегрирования b– верхний предел интегрирования пределы интегрирования

Свойства определённого интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

2 0. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е 3 0. При перестановке пределов интегрирования, знак интеграла меняется на противоположный, т.е.

4 0. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a

Формула Ньютона-Лейбница знак двойной подстановки

Метод непосредственного интегрирования. Пример 1. Вычислить интеграл Ответ. 2

Пример 2. Вычислить интеграл Ответ. 4

Метод подстановки (метод замены переменной). Теорема. Пусть дан интеграл, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Введём новую переменную

Если непрерывны на отрезке определена и непрерывна на отрезке то

Замечание. 1) При вычислении определённого интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) Часто вместо подстановкиприменяют подстановку ; 3) Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Пример 3. Вычислить интеграл Ответ.

Пример 4. Вычислить интеграл Ответ.

Пример 5. Вычислить интеграл Ответ.

Метод интегрирования по частям. Теорема. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то имеет место формула

Пример 6. Вычислить интеграл

Пример 7. Вычислить интеграл

Пусть Тогда Ответ.