Производная и дифференциал.

Геометрический смысл производной секущая Будем М М 0. Тогда секущая М 0 М занимает соответственно положения М 0 М 1, М 0 М 2, и т.д. Т.е. прямая займет некоторое предельное положение при М М 0 – это и будет касательная к кривой. М касательная М1М1 М2М2 М0М0

x y 0 y = x 3 y 0 y = |x| y x x 0 Касательная может пересекать кривую (ось ОХ) Касательной может не существовать Касательная может иметь с кривой несколько общих точек

Прямая, проходящая через точку М 0 перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в точке М 0. касательная нормаль М0М0

Рассмотрим функцию y=f(x). y y=f(x) M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) 1) зададим аргументу х приращение Δ х, тогда y+ Δ y=f(x+ Δ x) 2) проведём секущую ММ 0 3) - угол, образованный секущей с положительным направлением оси ОХ.

5) пусть М М 0, тогда Δ х 0, будет меняться ( ) и секущая ММ 0 становится касательной. y y=f(x) M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x)

y M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) Геометрический смысл производной: Производная функции y=f(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в этой точке.

Уравнение касательной и нормали. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: т.к., то уравнение касательной в точке х 0 :

Для перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами k и k 1 :, то уравнение нормали в точке х 0 :

если, то касательная параллельна оси ОХ: нормаль перпендикулярна оси ОХ: если, то касательная перпендикулярна оси ОХ: нормаль параллельна оси ОХ:

Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке х=2. Найдем ординату: Итак Уравнение касательной:

уравнение нормали: касательная нормаль

Пример 2. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси ОХ под углом 45º? Ответ: (1; 0) =45 у = х - 1

Физический смысл производной средняя скорость движения точки за время Δ t: мгновенная скорость точки в момент времени t:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Пример 1. Тело движется прямолинейно по закону Определить, в какие моменты времени 1) тело было в начальном пункте; 2) его скорость равна 0.

1) тело было в начальном пункте

2) его скорость равна 0

Ответ: 1) тело было в начальном пункте в моменты времени 0 сек и 8 сек; 2) скорость тела равна 0 в моменты времени 0 сек, 4 сек и 8 сек.

Пример 2. Стороны a и b прямоугольника изменяются по закону С какой скоростью изменяется его площадь S в момент времени t=4 сек? Находим

Физический смысл производной Если закон физического процесса является функцией времени, то скорость протекания процесса есть производная этой функции по времени.

Примеры использования производной при определении скорости различных процессов: Если Q=Q(t)- количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна Если N=N(t)- количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

Если m=m(x)- масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть Если = (t)- угол поворота, совершаемого при вращении твёрдого тела вокруг оси за время t, то угловая скорость тела в момент времени t равна