ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-3

4. Однородные ДУ I порядка.

Функция f(x;y) называется однородной степени n, если умножение всех её аргументов на одно и то же число t равносильно умножению функции на t n, т.е.

Пример 1. - однородная функция 3-ей степени Так как

- однородная функция 1-ой степени Так как - однородная функция 0-ой степени Так как

- однородная функция 2-ой степени Так как - однородная функция (-1)-ой степени Так как

ДУ I порядка называется однородным, если f(x;y)- однородная функция 0-ой степени, т.е.

Однородное ДУ I порядка можно записать в виде: Т.к., то если положить Получаем:

Решение однородного ДУ I порядка Это уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной или

-общее решение данного ДУ

Пример 2. Найти общее решение ДУ: Это однородное ДУ вида

Пример 3. Решить задачу Коши:, если y(1)=0 Это однородное ДУ вида

- общее решение Найдем С: или - частное решение

Уравнение вида называется однородным, если M(x;y) и N(x;y)- однородные функции одной и той же степени.

Пример 4. Найти общее решение ДУ: M(x;y) N(x;y) - уравнение однородное вида

(*)

- общее решение

Это однородное ДУ можно привести к виду

- получили (*)

Пример 5. Найти общее решение ДУ: M(x;y) N(x;y) - уравнение однородное вида

Пример 6. Найти общее решение ДУ: Это однородное ДУ можно привести к виду

общее решение

- общее решение или - общее решение