ТЕОРИЯ РЯДОВ

3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3.1. Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.

Давая х определенные числовые значения (например х 0 ), мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Если полученный числовой ряд сходится, то х 0 - точка сходимости ряда. Если ряд расходится, то х 0 - точка расходимости ряда.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S=S(x) Определяется она в области сходимости равенством где частичная сумма ряда.

Пример 1 Рассмотрим функциональный ряд

Исследуем сходимость ряда в некоторых точках: Пустьсходится точка сходимости ряда Пустьрасходится точка расходимости ряда

Найдем область сходимости ряда Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q=x. Следовательно, ряд сходится при |x|

Найдем сумму ряда Можем записать: Это равенство представляет собой разложение функции в ряд по степеням х.

Пусть S n (x)- сумма n первых членов функционального ряда. Если ряд сходится, то сумма его равна S(x): Для всех значений х в области сходимости ряда имеет место соотношение Поэтому т.е. остаток сходящегося ряда r n (x) 0 при n гдеостаток ряда

3.2. Степенные ряды. Радиус сходимости степенных рядов. Степенным рядом называется функциональный ряд вида где коэффициенты степенного ряда; x R- действительная переменная

Теорема Н.Абеля 1)Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х 0 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству 2) Если степенной ряд расходится при некотором значении х=х 1, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда.

Положив |х 0 |= R, получим Число R называют радиусом сходимости степенного ряда. Т.е. для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала |x|R, ряд расходится. На концах интервала (x= R, x=R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. -R-RR ряд сходится ряд расходится0 интервал сходимости

Замечание: 1)Если ряд сходится лишь в одной точке х 0 =0, то считаем, что R=0 2)Если же ряд сходится при всех значениях х R (т.е. во всех точках числовой оси),считаем, что R= Любой степенной ряд сходится в точке х=0

3.3. Определение радиуса сходимости степенного ряда. 1) Составим ряд из модулей его членов:

2) Применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел Ряд сходится, если, т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых

Ряд расходится, если, т.е. ряд расходится при тех значениях х, для которых Т.о. радиус абсолютной сходимости степенного ряда:

Аналогичным образом для определения радиуса сходимости можно пользоваться признаком Коши и тогда:

Замечания: 1)Если, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R=. Если, то ряд сходится лишь при х=0 В этом случае R=0.

2) Интервал сходимости степенного ряда где х 0 - некоторое постоянное число находят из неравенства имеет вид

3) Если степенной ряд содержит не все степени, т.е задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 2 Найти область сходимости ряда Решение Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.

Пример 3 Найти область сходимости ряда

Решение Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд абсолютно сходится, если или Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости: при х= 1 имеем ряд, который сходится по признаку Лейбница. при х=1 имеем ряд, который тоже сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок или Ответ

Пример 4 Найти область сходимости ряда

Решение Следовательно, данный ряд сходится при

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости: При х= 4 имеем ряд который сходится по признаку Лейбница.

При х=0 имеем ряд который расходится (гармонический ряд) Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал или Ответ

3.4. Свойства степенных рядов. 1)Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R). 2)Степенные ряды и имеющие радиусы сходимости соответственно R 1 и R 2 можно почленно складывать, вычитать, умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R 1 и R 2.

3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. 4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. При дифференцировании и интегрировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд! Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных вычислениях.