Определённый интеграл.

Геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. x y 0ab y = f(x) S x y 0 ab S

x y 0ab f(x) f(x) S=S 1 +S 2 g(x) g(x) с S2S2 S1S1 x y 0ab f(x) f(x) g(x) g(x) S = S 1 - S 2 S

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x=a и x=b и осью ОХ, то где α и β определяются из равенств:

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами вычисляется по формуле: p 0 α β S

Вычисление длины дуги кривой. x y 0ab y = f(x) А В l Длиной l дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю

Если кривая задана параметрически: прямыми x=a и x=b и осью ОХ, то где α и β определяются из равенств:

Если кривая задана в полярных координатах уравнением и двумя лучами p 0 α β l

Вычисление объема тела вращения. x y 0ab y = f(x)

Вычисление площади поверхности тела вращения. x y 0ab y = f(x)

Если кривая задана параметрически: прямыми x=a и x=b и осью ОХ, то где α и β определяются из равенств:

Если кривая задана в полярных координатах уравнением и двумя лучами p 0 α β l

Физические (механические) приложения определённого интеграла. Путь, пройденный телом -скорость тела за промежуток времени

Работа переменной силы. Если переменная сила действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле:

Давление жидкости. На горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости (закон Паскаля): g-ускорение свободного падения, γ-плотность жидкости, S- площадь пластинки, h- глубина её погружения

На вертикальную пластину, ограниченную линиями вычисляется по формуле: x y 0 a b y 1 = f 1 (x)y 2 = f 2 (x)

Статистические моменты относительно координатных осей Статистическим моментом S x системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси Ох): Аналогично определяется статистический момент S y этой системы относительно оси Оу:

Статистические моменты плоской дуги

Статистические моменты плоской фигуры, ограниченной линиями x y 0ab y = f(x)

Координаты центра тяжести (центра масс). Центр тяжести плоской кривой

Координаты центра тяжести плоской фигуры: где

Моменты инерции. Моменты инерции плоской кривой где γ-линейная плотность линии