Производная и дифференциал-1.

Определение производной. Прямолинейное равномерное движение: Неравномерное движение: -средняя скорость за промежуток времени от t 0 до t.

за 1-ую секунду: за 10-ую секунду: за 10 секунд:

Пусть точка движется по закону s=f(t), тогда

Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t при t t 0, называется мгновенной скоростью v(t 0 ) в момент времени t 0.

Приращение функции 0 y x x=x 0 + Δ x x0x0 ΔxΔx y=f(x) f(x 0 ) f(x)=f(x 0 + Δ x) ΔyΔy приращение аргумента: приращение функции:

Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ х 0 (при условии, что этот предел существует).

обозначения : Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой опреации- дифференциальным исчислением. Конкретное значение производной при х=a обозначается или

Сэр Исаа́к Нью́тон (англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января марта 1727 по григорианскому календарю) великий английский физик, математик и астроном.

Вычисление производной на основе её определения.

Найти производную функции в точке х.

Техника дифференцирования элементарных функций. На основе определения производной доказать:

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х=х 0, то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно! Непрерывная функция может не иметь производной.

y x 0 y = |x| Функция непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в ней. Т.к.

Доказательство теоремы : Действительно, если то при Это означает, что

Правила дифференцирования. Теорема 1. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

Теорема 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную от второй.

Доказательство: Пусть y=uv, тогда

Следствие из теоремы 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Теорема 3. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то производная дроби равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя.

Следствие из теоремы 3. Доказательство:

Доказать: