Определённый интеграл.

Несобственные интегралы 1.Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интеграл от разрывной функции. Рассмотрим интегралпри Пусть функция f(x) непрерывна на

Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале и обозначают: т.е.

Если приимеет конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если прине имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

x y 0a y = f(x) Геометрический смысл несобственного интеграла в случае f(x) 0: S Несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями y = f(x), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: где с- произвольное число (обычно с=0)

Пример 1. Вычислить интеграл Ответ. x y 0

Пример 2. Вычислить интеграл Ответ. Интеграл расходится x y 0

Пример 3. Вычислить интеграл x y 0

Ответ. Итак:

Приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. x y 0ab y = f(x) S x y 0 ab S

x y 0ab f(x) f(x) S=S 1 +S 2 g(x) g(x) с S2S2 S1S1 x y 0ab f(x) f(x) g(x) g(x) S = S 1 - S 2 S

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x=a и x=b и осью ОХ, то где α и β определяются из равенств:

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами вычисляется по формуле: p 0 α β S