Обратная матрица.

Квадратная матрица порядка n называется невырожденной, если её определитель не равен нулю. В противном случае (detA=0) матрица А называется вырожденной.

Если А- квадратная матрица, то обратной по отношению к матрице А называется матрица, которая будучи умноженной на А (как справа, так и слева) даёт единичную матрицу.

Если обратная матрица существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (detА 0).

Нахождение обратной матрицы: где присоединенная матрица

Чтобы найти обратную матрицу: 1. находят detA и убеждаются, что detA 0; 2. находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записывают новую матрицу А*; 3. транспонируют новую матрицу; 4. умножают полученную матрицу на

Пример 1. Найти матрицу, обратную к матрице А:

1) находим определитель матрицы А:

2) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

записываем новую матрицу: 3) транспонируем эту матрицу:

4) умножим полученную матрицу на

Проверка: Ответ:

Решение матричных уравнений.

Пример 2. Найти матрицу Х:

Пример 3. Найти матрицу Х: АВ

Проверка:

Ответ:

Пример 4. Показать, что

Пусть Получили, что