Векторы

Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор Обозначение:

Геометрически: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «-», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов. или смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения

смешанное произведение меняет свой знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей. компланарны

Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Доказательство:

или

Некоторые приложения смешанного произведения. компланарность векторов: компланарны

определение взаимной ориентации векторов в пространстве: - правая тройка - левая тройка

определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды: пар-да пир

Пример 1. Доказать, что точки А(5;7;-2), В(3;1;-1), С(9;4;-4), D(1;5;0) лежат в одной плоскости. Решение. Покажем, что векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. А В С D Векторы компланарны, следовательно точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.

Пример 2. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если даны координаты вершин пирамиды: А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3), D(3;7;2) Решение. А ВD С Н

Ответ.V=20 (ед 3 ),