Средние величины

Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Объективность и типичность статистической средней обеспечивается лишь при определенных условиях

Первое условие Средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней должен сочетаться с методом группировок.

Второе условие Для исчисления средних должны быть использованы массовые данные. В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности. Общие средние для однородной совокупности должны дополняться групповыми средними, характеризующими части совокупности

Две категории средних степенные средние; структурные средние.

Степенные средние средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.

Структурная средняя характеризует состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков. К этим средним относятся мода медиана.

Виды средних величин различаются тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средняя арифметическая. Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным, т.е. - это среднее слагаемое.

Средняя арифметическая простая. осредняемый признак называется вариантой и обзначается средняя величина из вариант обозначается число вариант - частота -

Определить среднюю заработную плату рабочих бригады. Порядковый номер рабочегоМесячная зарплата, у.е всего8550

В данном примере вариантой является зарплата каждого работника. Общая сумма зарплаты - это фонд заработной платы, который может быть записан алгебраически: где i = от 1 до n.

Расчет можно выполнить по следующей формуле Вставленная функция в EXCEL AVERAGE ( )

Средняя арифметическая взвешенная расчитывается, когда частоты не равны между собой В этом случае совокупность сгруппирована и представлена в виде ряда распределения

Возрастной состав бригады рабочих Возраст Количество человек xf итого13

Средний возраст рабочих бригады Или расчет по формуле средней взвешенной

Расчет средней арифметической в интервальном ряду, задача 8. Группы рабочих по количеству произведенной продукции, шт., x Число рабочих, f середина интервала, x' Итого100-

Задача 8. Каждый рабочий за смену производит в среднем 7,5 деталей

Свойства средней арифметической 1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна 0; 2. если от каждой варианты вычесть или к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное постоянное число, то средняя уменьшится или увеличится на это же число; 3. если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя уменьшается или увеличивается во столько же раз; 4. если все частоты разделить на какое-либо число, то средняя не изменится. Это свойство дает возможность абсолютное значение частот заменять их удельными весами.

Свойство 1 Возраст Количество человек Отклонение от средней xf 2625, , , ,308 итого130

Свойство 2 Возраст Количество человек Возраст xfx+10=xxfxf итого средняя33,385

Свойство 3 Возраст Количество человек Возраст xfx/10=xxfxf 2622,65,2 2432,47,2 2122,14,2 2362,313,8 итого13 30,4 средняя2,338

Свойство 4 Возраст Количество человек Возраст xff/2=fxf 2621, , , ,069 итого136, средняя23,385

Средняя гармоническая является преобразованной средней арифметической. Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака. Применяется тогда, когда необходимые веса в исходных данных не заданы непосредственно. Они могут входить множителем в один из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая Встроенная фукция в EXCEL HARMEAN ( )

Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скростью 40 км/час, а обратно - 60 км/час. Какова средняя скорость автомобиля? Время поездок есть тогда

Сократив все члены равенства на s, получим

Таким образом выполняется условие гармонической средней.

Средняя гармоническая взвешенная. Применяется в тех случаях, когда известен объем совокупности и групповая средняя.

Средняя гармоническая взвешенная. номер цеха средняя зарплата за сентябрь x фонд зарплаты M = xf итого

Средняя гармоническая взвешенная.

Средняя зарплата за сентябрь

Правило мажорантности средних