Введение в задачи исследования и проектирования цифровых систем Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики - процессов управления Лекции Веремей Е.И. Раздел 3. Методы синтеза цифровых систем

1. Пространство X проектных решений и множество G допустимых проектных решений: – расстояние от произвольной точки x до допустимого множества G 2. Обобщенная оптимизационная формализация задачи проектирования 3. Обобщенные необходимые условия экстремума: - дифференциал Фреше, 5. Формы необходимых условий экстремума: – равенство нулю градиента функции многих переменных – системы дифференциальных уравнений Эйлера – матричные алгебраические или дифференциальные уравнения Риккати; – обобщенные операторные уравнения. 1 Методы синтеза цифровых систем 1. Основы оптимизационного подхода

Модель дискретного объекта Функционал качества Ограничения на состояние Цель управления Задача синтеза цифровых систем состоит в формировании управляющей последовательности u[n] (n=0,1,2,…) m s -мерных векторов из определённого класса, которая обеспечивает достижение поставленной цели с учетом заданных ограничений, включая ограничение на функционал качества Ограничения на управление 2 Методы синтеза цифровых систем

3

4 Пусть задан объект управления в виде DLTI системы и регулятор Математическая модель замкнутой системы в частотной области: 2. Параметрическая оптимизация с заданием динамического «коридора»

x1(t)x1(t) 0t x2(t)x2(t) x(t,γ) t1t1 t2t2 t3t3... tNtN x 5 Методы синтеза цифровых систем

6 DLTI-система Желаемый хар. полином Регулятор по состоянию Пример: Собственные значения матрицы A Корни желаемого характеристического полинома: Период дискретности: T=0.025c

Переходные процессы в замкнутой системе для различных величин γ - нормирующий множитель Уравнения замкнутой системы 7 4. Вопросы синтеза цифровых систем а) по выходной переменной б) по управлению

8 4. Вопросы синтеза цифровых систем DLTI-объект Квадратичный функционал, заданный на движениях замкнутой системы: Регулятор по состоянию дискретного объекта – множество матриц размера m s n s с постоянными компонентами, для которых собственные числа матрицы A-BK расположены в открытом единичном круге на комплексной плоскости Задача LQR-оптимального синтеза

9 4. Вопросы синтеза цифровых систем Решение задачи LQR-оптимального синтеза: Здесь матрица S – решение матричного алгебраического уравнения Риккати: 1. Пара (A,B) стабилизируемая Ограничения: 2. R 0, Q>0 3. Пара (R, A-BQ -1 B T ) не должна иметь неуправляемой части с полюсами на единичной окружности

Объект: Регулятор: – макс. синг. число для SISO-систем Вопросы синтеза цифровых систем

Optim NCD Control μ-Tools LMI Robust Конечномерная оптимизация Модальное управление Робастное управление Оптимизация по нормам H 2 и H Вопросы синтеза цифровых систем