Точки разрыва функции. Их классификация

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности

Определение. Если то говорят, что является точкой разрыва функции f(x). Точка разрыва функция f(x) не является непрерывной в точке 1) f(x) разрывна в этой точке, 2)точка

Устранимая точка разрыва в самой точке разрыва функция либо не определена, либо, если и определена, то то такая точка называется устранимой точкой разрыва. Если в точке функцияимеет пределы справа и слева -непрерывна в точке

Пример. точка устранимого разрыва для функции -непрерывна в точке

-непрерывна на множестве - устранимая точка разрыва

Неустранимая точка разрыва Еслине существует, является точка точкой неустранимого разрыва. Определение.

Точка разрыва с конечным скачком то такая точка называется Если в точке функция 1) имеет пределы справа и слева, Определение. 2) они не равны точкой разрыва функции с конечным скачком функции. Не важно, равно или нет одному из односторонних пределов Скачок - разность

Пример. точка разрыва с конечным скачком, равным -2.

Точки разрыва 1-го рода точки устранимого разрыва точки разрыва с конечным скачком Функция в точке разрыва 1-го рода имеет конечный предел справа и слева.

Точки разрыва 2-го рода Если хотя бы один из односторонних пределов 1) не существует или 2) равен бесконечности, то в этой точке у функции разрыв II – го рода. Определение.

Примеры. точка разрыва 2-го рода Функция Дирихле точка разрыва 2-го рода

Непрерывность справа и слева Функция в точке непрерывна справа, если Функция в точке непрерывна слева, если Определение.

Непрерывность на отрезке Функция непрерывна на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она 1) непрерывна на интервале (a,b); 2) непрерывна справа в точке a; 3) непрерывна слева в точке b. C(a,b) – множество функций, непрерывных на интервале (a,b). C[a,b] – множество функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Определение.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Нули функции Если функция 1)непрерывна на отрезке [a,b], 2)на концах отрезка имеет значения, противоположные по знаку, то функция обращается в нуль хотя бы в одной точке интервала (a,b). Теорема 18(Больцано-Коши).

Геометрический смысл теоремы Больцано-Коши

Доказательство. Пусть Точка делит отрезок [a,b] пополам. теорема доказана. Зададим теорема доказана. На концах отрезков функция имеет значения разных знаков. По лемме Кантора

Доказательство. Докажем, что Пусть непрерывна в точке сохраняет знак одного знака. По построению разного знака. Противоречие.

Замечание. Требование непрерывности функциисущественно. Пример.

Утверждение. Всякий многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Пусть При достаточно больших положительных x При достаточно больших отрицательных x непрерывная функция.

Промежуточные значения непрерывной функции Если функция то 1)непрерывна на отрезке [a,b], 2)значения или Непрерывная на отрезке [a,b] функция принимает все промежуточные значения между её значениями на концах отрезка. Теорема 19(Коши).

Доказательство. Пусть Зададим По теореме 18

1-я теорема Вейерштрасса Если функциянепрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нём. Теорема 20.

Доказательство.

Точные грани функции Пусть функцияопределена и ограничена на некотором множестве Е. Точной верхней гранью М функции на множестве Е точная верхняя грань множества значений функции на множестве Е: Аналогично, точная нижняя грань m функции называется

2-я теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и точной верхней граней. Теорема 21.

Геометрический смысл теоремы

Замечание. Условие непрерывности на отрезке [a,b] существенно. Пример. ограничена на (-1,1) Точная верхняя грань не достигается

Наибольшее и наименьшее значение Наибольшим значением функции на отрезке [a,b] называетсяточная верхняя грань функции. Наименьшим значением функции на отрезке [a,b] называется точная нижняя грань функции

2-я теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке принимает свои наименьшее и наибольшее значения. Теорема 22.

Непрерывность функции (продолжение) точки разрыва и их классификация, нули функции, теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции, наибольшие и наименьшие значения функции, Теоремы Вейерштрасса.