Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности,
Advertisements

Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть.
Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность.
Последовательность. Арифметическая прогрессия.. Последовательностью называется функция заданная на множестве N натуральных чисел или на множестве n первых.
{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Company Logo Ограниченные множества Определение. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное.
Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция.
Числовые ряды Лекции 10,11. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность. Составим из членов этой последовательности бесконечную.
Точки разрыва функции. Их классификация. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакоположительных рядов.
Лектор Кабанова Л. И г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Числовые ряды.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 7. Тема: Ряды. Определение и свойства. Цель: Рассмотреть.
§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.
Содержание Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей.
Числовые ряды Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (продолжение) Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Свойства абсолютно.
§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд.
С в о й с т в а ч и с л о в ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й.
Транксрипт:

Числовая последовательность и её предел

Сходимость последовательности

ограниченная сверху Определение. ограниченная снизу ограниченная Ограниченная последовательность числовая последовательность

Примеры. ограниченная сверху ограниченная снизу ограниченная

неограниченная Определение.

Пример.

бесконечно большая Определение. бесконечно малая Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Определение.

Утверждение. бесконечно малая и ограниченная, то бесконечно малая Если Пример.

Утверждение. Обратное неверно.

Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности)

A ( ) Доказательство:

Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не достаточным. Пример.

Монотонные последовательности. Число е.

Определение. невозрастающая неубывающая возрастающая последовательность убывающая монотонная, если она неубывающая илиневозрастающая

Утверждение. 1.Неубывающая последовательность ограничена, если она ограничена сверху. 2.Невозрастающая последовательность ограничена, если она ограничена снизу. Доказательство: 1) 2)

Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

ограниченная неубывающая Докажем,что невозрастающей ограниенной Для невозрастающей ограниенной

Утверждение. Монотонность не является необходимым условием сходимости Пример. немонотонная, но

Принцип вложенных отрезков Пусть задана последовательность отрезков Тогда Следствие.

Пример. монотонно возрастает ограниченная 1 – 1 –точная верхняя грань

e. Число e. ограничена снизу 2 -неравенство Бернулли

монотонная и ограниченная снизу

Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия.

Определение. Подпоследовательностью для называется бесконечное подмножество элементов данной последовательности (.....) Пример подпоследовательность четных чисел; подпоследовательность чисел, дающих в остатке 1 при делении на 3.

Определение 2 Число пределом называется частичным пределом данной последовательности, если ее подпоследовательность, т.е.,сходящаяся к Пример.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность Или Любая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный частичный предел.

Доказательство: ограниченная -содержит бесконечное множество подпоследовательность последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Следствия: Следствие 1. Любое бесконечное подмножество ограниченной последовательности имеет частичный предел. Следствие 2. Если все частичные пределы последовательности одинаковы и равны а, то она сходится к, т.е. Следствие 3. Последовательность, для которых хотя бы два различных частичных предела, расходящаяся. Пример. расходящаяся последовательность

Теорема 2 (критерий Коши) - фундаментальная, если удовлетворяет условию Коши