кандидат технических наук, доцент Поляков Константин Львович Учебный курс Эконометрика: идентификация, оценивание и анализ статических моделей Лекция 10

2 Нормальное распределение случайной составляющей в линейной регрессионной модели на практике встречается редко.

3 Будут ли свойства МНК оценок параметров линейной регрессии улучшаться с ростом числа измерений ?

4 Основные предположения П1. Линейность: Y=Xa+v П2. Полнота ранга:X M T,n, rank{X}=n П3. Экзогенность независимых переменных: t E[v t |X]=0 П4. Гомоскедастичность и отсутствие автокорреляции: t,s D[v t |X]=s 2 cov[v t,v s |X]=0 П5. «Нормальная гипотеза»: v|X~N(0, 2 I)

5 Состоятельность МНК оценок параметров линейной регрессии П3+ (x t,v t ) – последовательность независимых случайных величин

6 Асимптотическая нормальность МНК оценок параметров линейной регрессии Условия Гренандера

7 Формулировка теоремы Пусть v t независимо распределенные случайные величины с математическим ожиданием равным 0 и конечной дисперсией 2, а для x ij выполняются условия Гренандера. Тогда: При соблюдении слабых условий распределение МНК оценки параметров линейной регрессии асимптотически нормально вне зависимости от распределения случайной составляющей.

8 Состоятельность оценки дисперсии случайной составляющей Если v t – одинаково распределенные независимые случайные величины с конечной дисперсией, то

9 Асимптотическая эффективность Оцениватель асимптотически эффективен, если он состоятелен, асимптотически нормально распределен и его асимптотическая ковариационная матрица не больше, чем асимптотическая ковариационная матрица любого другого состоятельного и асимптотически нормально распределенного оценивателя. Если случайная составляющая в модели линейной регрессии имеет не нормальное распределение, то МНК оценка может не быть асимптотически эффективной.

10 Что делать, если нарушается предположение об экзогенности независимых переменных ?

11 «Пропущенная переменная» Примеры y t =a 0 +a 1 x t +a 2 z t +v t y t =a 0 +a 1 x t +(a 2 z t +v t ) y t =a 0 +a 1 x t +w t, (x,w)= (x,z) «Ошибки измерения» y t =a 0 +a 1 x t +v t, z t =x t +w t y t =a 0 +a 1 (z t -w t )+v t y t =a 0 +a 1 z t +u t, u t =(v t -a 1 w t ) (z,u)=-a 1 D[w]

12 Негативные последствия При нарушении предположения об экзогенности МНК оценки параметров линейной регрессии теряют свойство состоятельности.

13 Инструментальные переменные XV (x,v) Z (x,z) (z,v) П3. Экзогенность независимых переменных: t E[v t |X]=0 П3*. t E[v t |X]=d t Можно измерить для тех же условий, что и (Y,X) !

14 Свойства инструментальных переменных Количество инструментальных переменных (m) не меньше, чем количество независимых переменных в модели (n).

15 Случай, когда m=n Чем выше корреляция между инструментальными и независимыми переменными, тем точнее оценки.

16 Случай, когда m>n Любая линейная комбинация инструментальных переменных асимптотически не коррелирует со случайной составляющей. Необходимо «правильно» выбрать n линейных комбинаций m инструментальных переменных.

17 z1z1 x Независимая переменная L (Z) z2z2 Двухшаговый МНК 2SLS

18 Преимущества 2SLS X=[X k x k ], X k - экзогенные переменные, x k - коррелирует со случайной составляющей Z=[X k,z 1,…,z q ] 2SLS оценка обладает самой маленькой ковариационной матрицей среди всех ИП оценок основанных на линейных комбинациях инструментальных переменных.

19

20 Как обнаружить нарушение экзогенности ?

21 Критерий Хаусмана

22 Джерри Хаусман (Jerry A. Hausman), профессор Экономики в Массачусетском технологическом институте.

23

24 Статистика Вальда Как подсчитать матрицу C ? «Ковариация между эффективной оценкой вектора параметров и разностью между этой оценкой и неэффективной оценкой того же вектора равна нулю.» (Джерри Хаусман, 1978)

25 Если X и Z не имеют общих переменных, то ранг матрицы статистики Хаусмана меньше n и она не обратима. Если k переменных X входит в Z, то статистика Хаусмана является квадратичной формой ранга J=n-k.