Треугольник А В С с b a Обозначения: А, В,С – вершины, а так же углы при этих вершинах; a, b, c – стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно; h a, h b,h c -высоты, опущенные на стороны a, b, c соответственно; m a, m b, m c – медианы; l a, l b, l c – биссектрисы; R- радиус описанной окружности; r- радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника S= ah a = bh b = ch c S= pr

Медиана, биссектриса, высота

Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам : b c a b1b1 c1c1 lala Длина биссектрисы:

( радиус описанной окружности) 2. центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Следует иметь в виду, что: 1.Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника; (радиус вписанной окружности)

Высоты и стороны треугольника: Теорема косинусов : Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cosA b 2 = a 2 +c 2 – 2ac cosB c 2 = a 2 +b 2 - 2ab cosC

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов т.е. a b c

Признаки подобия треугольников 1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними: a b a1a1 b1b1

2.По двум равным углам 3. По трем пропорциональным сторонам a b c a1a1 b1b1 c1c1

Свойства медиан Каждая медиана точкой пересечения делится отношении 2:1, считая от вершины Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника ( одинаковой по площади)

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника Три медианы делят треугольник на 3 равновеликих треугольника

Прямоугольный треугольник b a hchc bcbc acac a 2 = c a c b 2 = c b c ·· ·· h c 2 = a c a 2 +b 2 =c 2 (теорема Пифагора).bc.bc

Площадь прямоугольного треугольника Радиус (центр описанной окружности находится на середине гипотенузы)

Признаки подобия прямоугольных треугольников 1.По одному острому углу 2. По пропорциональности двух катетов 3. По пропорциональности катета и гипотенузы

Признаки равенства прямоугольных треугольников 1. По двум катетам 2. По одному катету и гипотенузе 3. По катету и прилежащему острому углу 4. По гипотенузе и острому углу

Равносторонний треугольник h aa a r R Следует иметь в виду, что: 1. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, проведенными из этой вершины. 2. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

Четырёхугольники. Параллелограмм b a haha d1d1 d2d2 α a и b – смежные стороны α – угол между смежными сторонами d 1 и d 2 – диагонали β - угол между диагоналями h a – высота, проведённая к стороне а β d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 ) Обе диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих(равных по площади) треугольника.

Ромб a a d2d2 d1d1 h α d 1 2 +d 2 2 =4a 2 d 1 d 2 S=a 2 = d 1 d 2 = ah r= (радиус вписанной окружности)

Прямоугольник β a b d1d1 d2d2 d 1 =d 2 S=ab= d 2 sin β d= 22 - диагональ прямоугольника R= (радиус описанной окружности)

Квадрат a a d d 1 =d 2 d 1 d 2 S=a 2 = d 2 R= = (радиус описанной окружности) r= (радиус вписанной окружности)

Трапеция b a h d1d1 d2d2 l β a и b – основания h – высота l – средняя линия d 1 и d 2 – диагонали β – угол между диагоналями l= S= h=lh= d 1 d 2 sin

Равнобокая(равнобедренная, равнобочная)трапеция A BC D K E AB=CD