Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой точка М середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторону CD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникам ABC и CAD. Согласно этому следствию точка Р середина стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно тому же следствию точка N середина стороны CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN являются средними линиями треугольников ABC и ACD, а отрезок MN средней линией трапеции ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Далее, по теореме о средней линии треугольника MP = ½ BC, PN = ½ AD Следовательно, MN = MP + PN = ½ (BC + AD) Теорема доказана.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна с. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеций. Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN параллелограмм. Но KL \\ AC, LM\\BD, a ACBD. Поэтому KL LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с.

Доказать, что две трапеции равны, если их стороны соответственно равны.

Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 у которых стороны соответственно равны: АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, CD = C 1 D 1, DA = D 1 A 1. Пусть ВС, AD и B 1 C 1 A 1 D 1 основания этих трапеций. Предположим для определенности, что AD>BC, тогда A 1 D 1 > В 1 С 1 (рис. 34). Отметим на отрезках AD и A 1 D 1 соответственно точки Е и Е 1 так, чтобы ED = BC и E 1 D 1 = B 1 C 1. Тогда ED = E 1 D 1> и, значит, АЕ = А 1 Е 1, а четырехугольники BCDE и B 1 C 1 D 1 E 1 являются параллелограммами (объясните почему). Поэтому BE=CD, B 1 E 1 = C 1 D 1 (противоположные стороны параллелограмма равны), и так как CD = C 1 D 1, то ВЕ В 1 Е 1. Таким образом, в треугольниках ABE и А 1 В 1 Е 1 стороны соответственно равны (АВ = А 1 В 1, АЕ = А 1 Е 1, ВЕ = В 1 Е 1 ), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ВEA= B 1 E 1 A 1 и BEA = B 1 E 1 A 1. Но ВЕА = CDА, BEA = C 1 D 1 A 1, следовательно, CDA = C 1 D 1 A 1. Тем самым доказано, что в данных трапециях A = A 1, D=D 1. Так как AD\\BC, то из равенстваA = A 1 следует, что В = В 1, а из равенстваD 1 = D, что C= C 1

Биссектрисы равных углов А и С равнобедренного треугольника ABC пересекают боковые стороны треугольника в точках Е и Р соответственно. Докажите, что четырехугольник АРЕС трапеция с тремя равными сторонами. B CA PE

Решение. PE \\ AC (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), => PEA = PAE (теорема о накрест лежащих углах), => AP =PE, => в трапеции равны 3 стороны. B CA PE