Свойство замечательных точек треугольника Прямая Эйлера Кныш Михаил 8б

Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой(эта прямая называется прямой Эйлера). Если треуг. АВС равнобедренный, причем АВ=ВС, то медиана BD является также высотой треугольника АС, а прямая BD- серединным перпендикуляром к стороне АС. Ясно, что в этом случае точка М пересечения медиан, точка Н пересечения высот и точка О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой BD. Это и есть в данном случае прямая Эйлера. B AC O M H AB=BC D

Рассмотрим теперь неравнобедренный треуг. АВС. Пусть треуг. АВС остроугольный. Пусть Н точка пересечения высот АА` и BB`, точки А1, В1 и С1-середины сторон ВС АС АВ точка О- точка пересечения серединных перпендикуляров A1D, B1E к сторонам ВС АС треуг. АВС. Заметим,что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, а коэффициент подобия равен 2: АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=2 Далее, высоты А1D и В1Е являются отрезками серединных перпендикуляров к сторонам треуг. АВС и поэтому эти высоты пересекаются в точке О. Высоты BB` и В1Е в подобных треуг. АВС и А1В1С1 являются сходственными. Точно так же сходственными являются отрезки этих высот ВН и В1О. Поэтому ВН/В1О=2 Проведем медиану ВB` треуг. АВС и отрезок НО. Пусть М- точка и пресечения. Треуг. ВМН и В1МО подобны по 2-ум углам. Коэффициент подобия этих треуг. Равен 2, т.к ВН/В1О=2 Поэтому и ВМ/В1М=2 т.е. чотка М делит медиану ВВ1 в отношении 2:1 считая от вершины В. Следовательно, М является точкой пересечения медиан трекг. Ч.Т.Д. А B`B1 C B C1 A1 A` H E O D A B`B1C B H M O

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В точка Н пересечения высот совпадает с вершиной В, точка О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треуг. Совпадает с серединой гипотенузы АС, и так как М пересечения медиан лежит на медиане ВО то все три точки Н, М и О лежат на прямой ВО. В А С О М

Рассмотрим теперь неравнобедренный треуг. АВС. Пусть треуг. АВС остроугольный. Пусть Н точка пересечения высот АА` и BB`, точки А1, В1 и С1- середины сторон ВС АС АВ точка О- точка пересечения серединных перпендикуляров A1D, B1E к сторонам ВС АС треуг. АВС. Заметим,что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, а коэффициент подобия равен 2: АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=2 Далее, высоты А1D и В1Е являются отрезками серединных перпендикуляров к сторонам треуг. АВС и поэтому эти высоты пересекаются в точке О. Высоты BB` и В1Е в подобных треуг. АВС и А1В1С1 являются сходственными. Точно так же сходственными являются отрезки этих высот ВН и В1О. Поэтому ВН/В1О=2 Проведем медиану ВB` треуг. АВС и отрезок НО. Пусть М- точка и пресечения. Треуг. ВМН и В1МО подобны по 2-ум углам. Коэффициент подобия этих треуг. Равен 2, т.к ВН/В1О=2 Поэтому и ВМ/В1М=2 т.е. чотка М делит медиану ВВ1 в отношении 2:1 считая от вершины В. Следовательно, М является точкой пересечения медиан трекг. Ч.Т.Д.

КОНЕЦ