Бронфина О. А., учитель математики МБОУ « СОШ 22» г. Миасс. Бронфина О. А., учитель математики МБОУ « СОШ 22» г. Миасс.

Если мозг не засевать зерном, то он зарастет чертополохом. Д. Ж. Герберт поэт XVII века.

Цель Выявить разные способы решения квадратного уравнения и установить возможность их применения. Задачи Определить, что называется квадратным уравнением. Научиться применять разные способы решения квадратных уравнений. Проанализировать рациональность использования найденных способов для решения квадратных уравнений.

ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная ; коэффициенты а, b и с – некоторые числа, причем, а 0. Виды квадратных уравнений : Неполные квадратные уравнения. ax 2 = 0, ax 2 + bx = 0, ax 2 + c = 0; Приведенные квадратные уравнения. x 2 + px + q = 0. Полные квадратные уравнения.

Решение по формуле корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Решение уравнений способом « переброски ». Графическое решение квадратного уравнения. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения. Геометрический способ. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки. Использование номограммы для решения уравнений.

D = b 2 4ac. D > 0 - уравнение имеет 2 различных корня ; D = 0 - уравнение имеет 1 корень ( или 2 совпадающих корня ) D < 0 - уравнение корней не имеет. ( или 2 мнимых корня ). Общая формула :

Формула корней квадратного уравнения позволяет найти корни любого квадратного уравнения, в том числе приведенного и неполного. Если второй коэффициент четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта : В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле :

Возможные способы разложения на множители : Вынесение общего множителя за скобки - решение неполных квадратных уравнений. Использование формул сокращенного умножения – представление трехчлена в виде произведения. Способ группировки - представление трехчлена в виде произведения. Метод выделения полного квадрата - используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. удовлетворяют теореме Виета, которая имеет вид х 1 x 2 = q x 1 +x 2 = -p Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы можем вычислить их сумму и произведение.

ax² + bx + c = 0, где a 0. Умножим обе его части на а. Получим уравнение а ² х ² + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = а / у ; Получим новое уравнение у ² + b у + ас = 0, равносильное данному. Используя теорему обратную теореме Виета, найдем его корни у 1 и у 2. Вернемся к ax² + bx + c = 0 и найдем его корни х 1 = y 1 / a, х 2 = y 2 / a. Метод « пререброски » позволяет устно решать большинство полных квадратных уравнений и не тратить время на вычисление дискриминанта. Следует учесть, что дискриминант должен быть полным квадратом.

1 способ. ах 2 + bx + с = 0 перепишем в виде ах 2 = - (bx + c). Построим графики функций y = ax 2 и y = - bx - c в одной системе координат..

2 способ. Построим график функции у = ах 2 + bx + с = 0. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс. Возможные случаи расположения параболы относительно оси ОХ : Парабола пересекает ось ОХ в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Парабола касается оси ОХ. Уравнение имеет один корень. Парабола не имеет общих точек с осью ОХ. Уравнение корней не имеет. Минус этих двух способов в том, что не всегда можно найти точное значение корней. Метод часто применяют для определения количества корней.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = Если а + b + с =0, то х 1 = 1, х 2 = c/a 2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – c/a. Применим для устного решения квадратных уравнений.

Пример из « Алгебры » ал - Хорезми : х х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : « Квадрат и десять корней равны 39». S = x x +25 ( х х = 39) S = = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВС D, т. е. отрезок АВ = 8. х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3 x 2х АD СВ

ax 2 + bx +c = 0 1. Выберем систему координат. 2. Построим точки S (-b/ 2 а ; а + с / 2 а ) – центр окружности и А ( 0; 1 ). 3. Проведем окружность с радиусом SA. Этот способ применяется редко из - за сложности построений.

А(0;1) О Е(0;c/a) х у B(х 1 ;0) C(х 2 ;0) S х у В(х 1 ;0) А(0;1) S E(0;c/a) О А(0;1) Е(0;с/а) у х S BO

z 2 – 9z + 8 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 8 и z 2 = 1 Ответ : 1; 8. 2z 2 – 9z + 2 = 0 z 2 – 4,5z + 1 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5 Ответ : 0,5; 4. Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

УДОБНЫЕ СПОСОБЫ НЕ ВСЕГДА УДОБНЫЕ СПОСОБЫ 1. Формула корней 2. Теорема Виета 3. Свойства коэффициентов 4. Метод « переброски » 5. Разложение левой части на множители 1. Номограммы 2. Линейка и циркуль 3. Геометрический способ 4. Графический способ

1. Алгебра. 8 класс : Учебник для общеобразовательных учреждений / С. А. Теляковский. – М.: Просвещение, Справочник по элементарной математике./ М. Я. Выгодский – М.: Наука, Пресман А. А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С.34..[ Электронный ресурс ] – Режим доступа : c78a23f0c3ad/1972_04_Reshenie_kvadratnyh_uravnenij_s_pomoshhyu_cirkulya_i _linejki.djvu 4. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика : Справочные материалы : Книга для учащихся. – М.: Просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., Просвещение, Дидактические материалы по алгебре. 7. А. Н. Рурукин. Поурочные разработки. 8 класс Пособие для учителя. – М.: ВАКО, 2008 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ