To the Solution of a Bilinear Optimal Control Problem with State Constrains by the Doubled-Variations Method E.A. Rovenskaya Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia and International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria

Problem Formulation Assumptions: (A1) (A2) and are commuting matrices; (A3) is a continuous function increasing in x for all t and measurable in t (A4) for all is a continuously-differentiable function, (A5) optimal utility value the set of optimal controls

Equivalent formulation is a continuous increasing function

Assumption (A5) Equivalent formulation

optimal utility value optimal controls set Equivalent formulation

Discrete approximation Uniform grid on control approximation approximation of Property:

Approximation of Аппроксимация показателя качества где Discrete approximation

Optimal utility value Optimal controls set Problem

Let be an optimal control in problem, Then (i)(i) (ii) so that weakly in Lemma 1 Problem

Solution to Problem Условия (У2) и (У3) Рассмотрим

Решение задачи - допустимый элемент, то Определение. - критическая точка, если замена приводит к или Так как на - регулярная точка в противном случае. Утверждение. Пусть - критическая точка.Тогда Лемма 2. Пусть - регулярная точка.Тогда

Решение задачи Рассмотрим Лемма 4. Пусть не пусто. Тогда Лемма 3. пусто. Тогда (i)(i) (ii) и Пусть

Решение исходной задачи Теорема. Управление оптимально в исходной задаче. где -единственный корень уравнения

Решение исходной задачи Оптимальные траектории

Моделирование

Калибровка модели Начальный момент времени Конечный момент времени

Моделирование Время переключения

Введение Изменения климата Влияние на окружающую среду и жизнь человека Эмиссии и концентрации парниковых газов Экономический рост Повышение температуры повышение уровня Мирового океана дальнейшее потепление лесные пожары … сельское хозяйство запасы пищи и пресной воды здоровье людей …

Модель: экономическая часть валовый выпуск продукции капитализация «производственных» технологий капитализация «очищающих» технологий Показатель качества max развитие технологий развитие «производственных» технологий развитие «очищающих» технологий

Модель: экологическая часть промышленные выбросы парниковых газов (У1) (У2)монотонно убывает на (У3) для всех функция для всех (У4) где

Постановка задачи Множество допустимых управлений -- множество таких измеримых функций монотонно возрастает на функция Дополнительное условие: Будем считать, что множество допустимых элементов не пусто непрерывна,