1 Задания В 9 ЕГЭ 2014

1. Диагональ куба равна Найдите его объем 2 Ответ: 8 Решение Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует, что если диагональ куба равна, то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба. Ответ: 2 Решение Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x 2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1) 2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+1) 2 = 6x , решая которое, находим x = 2 3

3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда 4 Ответ: 1,5 Решение Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60 о, равна. Высота, опущенная на эту грань, равна. Объем параллелепипеда равен 1,5

4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы Ответ: 8 Решение Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8 5

5. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? Ответ: 8 Решение Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k, то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3. Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз 6

6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Ответ: 360 Решение Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна

7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ: 22 Решение Поверхность многогранника состоит из двух квадратов, площадь которых равна 4, четырех прямоугольников, площадь которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников, площадь которых равна 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22 8

8. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпенди- кулярно плоскости основа- ния и равно 3. Ответ: 27 Решение Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27 9

9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ: 3 Решение Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3. Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 10

10. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей 11 Ответ: 10 Решение Площади поверхностей данных шаров равны и. Их сумма равна. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

11. Прямоугольный паралле- лепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем паралле- лепипеда Ответ: 32 Решение Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32 12

12. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на π Ответ: 36 Решение Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36π, а объем, деленный на π, равен 36 13

13. В конус, радиус основания которого равен 2, вписан шар радиуса 1. Найдите объем конуса. Ответ: Решение Треугольники ABC и AOD подобны. Следовательно, Пусть AO = x, тогда BC = 2, AC = 1+x, OD = 1, AD =,, АС =, значит объем конуса равен 14

14. В сферу радиуса 5 вписан конус, высота которого равна 8. Найдите объем конуса Ответ: Решение Пусть O – центр сферы, PQ – радиус основания конуса. В прямоугольном ΔOPQ имеем: OQ = 5, OP = 3. Следовательно, PQ = 4. Объем конуса равен 15

15. Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60 о и равны 2. Расстояние между ними равно 3. Найдите объем тетраэдра Ответ: Решение Пусть угол между AD и BC равен 60 о. Проведем общий перпендикуляр EG. Площадь Δ ADE равна 3. Угол между прямой BC и плоскостью ADE равен 60 о. Объем пирамиды равен 16

16. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30 о. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: см 3 Решение Площадь основания пирамиды равна 120 см 2. Сторона основания равна 13 см. Высота ромба равна см. Высота пирамиды равна см. Следовательно, объем пирамиды равен см 3 17

17. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: 6 Решение Треугольник SAD равносторонний со стороной, AB = GH = Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6 18

18. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы. Ответ: Решение Сторона основания призмы равна. Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен 19

19. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 см, а расстояния между ними равны 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы. Ответ: 3060 см 3. Решение Проведем сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Используя формулу Герона найдем площадь сечения. Она равна 204 см 2. Объем призмы равен 3060 см 3. 20