УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Рассмотрим уравнение вида: Здесь - искомая функция

В зависимости от соотношения между коэффициентами существуют различные виды уравнений При Получаем уравнение переноса

Если хотя бы один из коэффициентов а, b, с отличен от нуля, то получим уравнение второго порядка. 1. При Получаем волновое уравнение (гиперболическое)

При D = 0 уравнение теплопроводности (параболическое)

При D < 0 уравнение Лапласса (эллиптическое) Если правая часть уравнения Лапласса отлична от нуля, то оно называется уравнением Пуассона.

Элементы теории разностных схем Запишем смешанную краевую задачу в виде

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий h и соответственно шаги сетки по направлениям х и t. Значения функции в узлах сетки обозначим

Значения функции в узлах сетки заменим соответствующими значениями сеточной функции которые удовлетворяют уравнениям, образующим разностную схему.

Заменяя в исходном уравнении частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон:

Получаем систему алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий

Данная схема называется явной. Для начала счета по явной схеме при j = 1 необходимо знать решение на начальном слое при j = 0. Оно определяется начальным условием (1), которое запишется в виде

в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы, когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев: нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

С помощью рассмотренного способа построения разностных схем, могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Рассмотрим смешанную задачу для двумерного линейного уравнения

В трехмерной области (x, y, t) построим разностную сетку, ячейки которой имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого проведем координатные плоскости через точки деления осей х, у, t:

Значение сеточной функции в узле с помощью которой аппроксимируются значения функции обозначим через

Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка. Шаблон изображен на рис. где выделена одна ячейка разностной сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер k, верхний k + 1.

запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение

Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле (i, j, k + l):

Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму одномерной схемы. Здесь также счет производится по слоям k = 1, 2,..., К. При k = 0 используется начальное условие, которое нужно переписать в разностном виде:

На каждом слое последовательно вычисляются значения сеточной функции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу может быть различной: двигаются параллельно либо оси х, либо оси у.