Двойные интегралы Лекция 7

Цилиндрический брус Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью.

Вычисление объема цилиндрического бруса

Продолжение Объём цилиндра приближённо выражается суммой где Δσi –площадь элементарной ячейки. Таким образом, переходя к пределу при условии, что max diamΔσi0, мы получим точный объём цилиндра:

Определение двойного интеграла Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что max diam Δσi0, не зависящий ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то он называется двойным интегралом по области D от функции z=f(x,y) и обозначается

Продолжение Таким образом, по определению = В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной функцией, D – областью интегрирования, а dσ – элементом площади. =.

Некоторые определения Назовём область D замкнутой, если этой области принадлежат как внутренние, так и граничные точки области, то есть если граница области причисляется к самой области.

Некоторые определения Кривая называется гладкой, если эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую своё положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если её уравнение на плоскости Oxy может быть записано в виде y=f(x) (axb), где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на данном интервале (a,b).

Некоторые определения Кусочно – гладкой мы называем кривую, которую можно разбить на гладкие кривые точками. Например, кусочно – гладкой кривой является ломаная. Сформулируем без доказательства теорему.

Условие существования двойного интеграла Если область D с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл как предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(. В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

Двойной интеграл в декартовых координатах Так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки, то в декартовых координатах область разбивают на ячейки прямыми, параллельными координатным осям. Тогда элемент площади dσ в декартовых координатах полагают равным dσ=dxdy.

Двойной интеграл в декартовых координатах Тогда имеем =

Правильная в направлении оси оУ область Пусть область ограничена сверху и снизу кривыми, изображенными на рисунке, а с боков – отрезками прямых. Прямая, параллельная оси, пересекает нижнюю и верхнюю границы области не более, чем в 2-х точках. Такую область называют правильной в направлении оси Оу.

Двукратный интеграл Назовем двукратным интегралом по области, простой и правильной в направлении оси Ох, интеграл вида Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Сведение двойного интеграла к двукратному Двойной интеграл по области, простой и правильной в направлении оси Ох, сводится к двукратному интегралу по такой области:

Если область простая и правильная в направлении оси оХ

Двойной интеграл по правильной области Если область является простой и правильной в направлении обеих координатных осей, то интеграл можно вычислить в любом порядке: =