Введение

Список литературы Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, РАЩИКОВ В.И., РОШАЛЬ А.С. Численные методы решения физических задач: Учебное пособие. – 2005.

Технологическая цепочка вычислительного эксперимента включает в себя следующие этапы: построение математической модели исследуемого объекта (сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи); построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование;

программирование алгоритма на ЭВМ и его тестирование; проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма; анализ полученных результатов;

Источники и классификация погрешностей Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания (неустранимая погрешность ).

2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному (погрешность метода).

3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления (вычислительная погрешность).

Определение. Под ошибкой или погрешностью приближенного числа a понимается разность между точным числом A и его приближенным значением

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа a называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом A и числом a

Здесь следует различать два случая: Число A известно, тогда абсолютная погрешность определяется по формуле. Число A неизвестно, что практически бывает чаще всего. В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Определение. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Таким образом, если - предельная абсолютная погрешность приближенного числа a, заменяющего точное число A, то

- приближение числа A по недостатку - приближение числа A по избытку.

На практике, для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа.

Например, для а = = , для а = 0.51 = для а = =

Абсолютная погрешность или предельная абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа A

Определение. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем

На практике обычно принимают A = a, тогда вместо предыдущей формулы используют формулу Отсюда, зная предельную относительную погрешность получают границы для точного числа: что условно записывают в виде

Определение. Значащими цифрами приближенного числа считаются все цифры данного числа, начиная с первой ненулевой цифры.

Пример: в числе значащие цифры: 3 и 7, в числе 1480 все четыре цифры значащие.

Кроме того, при изменении формы записи числа (например, при записи в форме с плавающей точкой) число значащих цифр не должно меняться, т. е. нужно соблюдать равносильность преобразований.

Например, равносильные записи 7500 = , = 11.0, неравносильные записи 7500 = , = 11. 0, =

Определение. Цифра называется верной, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра.

Правила оценки погрешностей Для двух приближенных чисел а и b выполняется:

Пример пусть а = 2520, b = 2518.