Муниципальное общеобразовательное учреждение Гимназии 2 «Квантор». Секция математики. Проект по алгебре. Тема: «Эффективные пути решения неравенств. Метод замены множителей». Разработчики: Марченко А. Д. Коршакова А. О. Учитель: Зайцева Е. В. г. Коломна 2008 год

Эффективные пути решений неравенств. Метод замены множителей. Все неравенства с одной переменной, которые рассматриваются в школе или предлагаются в конкурсных заданиях вступительных экзаменов, имеют одну и ту же структуру ответа промежуток или объединение промежутков. Легко усваиваемыми учащимися неравенствами являются рациональные неравенства, решение которых рассмотрено в школьных учебниках и многочисленных пособиях для поступающих в вузы. Поэтому естественным признать желание свести решение неравенств повышенной сложности к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Рассмотрим применение метода замены множителей.

Содержание: 1.Замена знакопостоянных множителей. 2.Замена множителей с модулем. 3.Замена множителей с иррациональными выражениями.

1. Замена знакопостоянных множителей. 1) Метод замены множителей применяется в неравенствах вида: V 0 Символ «V» означает один из четырех возможных знаков неравенства:. 2) Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя M на знакосовпадающей с ним и имеющий одни и те же корни (в области существования всех множителей) множитель L. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числителе или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.

Пример 1. (МГУ факультет вычислительной математики и кибернетики, задача 1 из пяти) Решите неравенство: (X2 – 9) 0 Решение: В неравенстве есть знакопостоянный множитель который провоцирует следующее неправильное решение. Так как произведение двух множителей (X 2 – 9) и неотрицательно, и второй множитель неотрицателен, то и первый множитель (X2 – 9) должен быть неотрицательным. Поэтому решение неравенства определяется следующей системой: 1)X x

2) X2 – X – 2 = 0 3) X (-; -3] [3; +) -323 x Полученный ответ не содержит X=2 и X=-1, которые были потерянны в результате решения. Теперь приведем одно из правильных решений. Корень из трехчлена в области допустимых значений всегда совпадают по знаку с этим трехчленом, поэтому имеем: (X2 – 9)0

-32 3x x 2 X (-; -3] X=-1 X=2 (-; -3][3; +); -1; 2. X=3 Ответ: X Замена множителя на X 2 – X – 2 позволило перейти от иррационального неравенства к стандартному рациональному неравенству в области допустимых значений исходного неравенства. 2. Замена множителей модулем. Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля: m =m m0 для всех m, а так же в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции Типы замен: y=t ( )( )( ) ()( ) ()()

( )( ) ()( ) Удобно указать частные случаи замен: - (ax 2 +bx+c) ( -ax 2 -bx-c) (+ax 2 +bx+c) a>0 и D0 (ax 2 +bx+c-) (ax 2 +bx+c+)(ax 2 +bx+c-) Пример 2. Решите неравенство: Решение: Каждый множитель как в числителе так и в знаменателе есть разность неотрицательных чисел. Поэтому заменяя их на разность квадратов, получим равносильное неравенство в области значения.

Далее, пользуясь свойством модуля m =m и раскладывая на множитель разности квадратов, получим. 1) –X 2 +X-6=0 2) X 2 +X+2=0 D=1-24

Заменим первый множитель на (-1); второй – на множитель (1) Получим: Следует: X Вернемся к системе:

Ответ: ( - 3; - 2 ) [ 2; 5 ) Пример 3. Решить неравенство: Решение:

1) –X2+2X+8=0 X2-2X-8=0 2)2X 2 +2>0 При X /R Заменим (1) 3)2X 2 +6>0 При X /R Заменим (1) 4)X2-X-2=0

X X (-2; -1)(0; 1)(2; 4) Ответ: (-2; -1)(0; 1)(2; 4) Пример 4. В этом неравенстве уже нельзя множители ( ) и (X+14-2X) рассматривать как разности неотрицательных чисел, так как выражения 3x и 2x в области допустимых значений ( т.е x-10) могут принимать как положительные так и отрицательные значения. Однако, если область допустимых значений исходного неравенства разбить на два промежутка -10x0 и x>0 (точка x=0 есть точка смены знака выражений 3x и 2x, то заметим, что на промежутке -10x0 имеем произведение двух положительных чисел, и поэтому неравенство ложно, а при x>0 каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а следовательно можно воспользоваться методом замены множителей. Итак.

( )(|+14|-2x)0 1) X+1>0 2) 3X+14>0

010/914 X X (10/9; 14) Ответ: (10/9; 14) Пример 4. Наводит на мысль, как действовать в произвольной подобной ситуации: область допустимых значений неравенства разбить на промежутки знакопостоянства выражений, которые необходимо возводить в квадрат, чтобы воспользоваться методом замены множителей; далее на каждом из полученных промежутков решать исходное неравенство и полученные ответы объединить. Рассмотрим пример. Пример 5. Решить неравенство: 1) О.Д.З.

-181X X [-18; -1] [1; +) 2)О.Д.З. нулями выражений (2-x) и (x 2 -2x) разбивается на три промежутка X x-1; 2.1x2; 3.x2. 1.Решаем неравенство на (1) промежутке. -18x-1 Заметим: 1) (заменим (1))

2) 2-x>0; 3) x(x-2)>0 Проведём замену, получим 1.x-2 0 при x принадл. R, заменим на 1 3.x-7

x 2.Рамотрим неравенство на втором промежутке x принадлежит [1;2]. 1.x>0 2.xx-20, след. |2x-8|-x-2>0, заменим на x>0, Тогда:

X2-5X-14> X 3.Решаем неравенство на третьем промежутке x2 При x21. 2-x=0 на (-1) x>0 4.x(x-2)0 Получим

(-X2+4X-8)(X2-8)0 X2-4x+8>0, при x принадлеж. IR (Д>0). Тогда 5.Объединим ответы, полученные в разобранных трёх случаях.

X Ответ: [-18;- 2 * -2;-1]*[ 2;+.

Вывод: Рассмотрев данные примеры, можно сделать вывод, что, овладев техникой применения метода данных множителей можно значительно быстрее двигаться к ответу при решении неравенств, предлагаемых в конкурсных заданиях. Мы рассмотрели задания, предлагаемые на вступительных экзаменах по математике на основных факультетах МГУ. Метод замены множителей применяется при решении неравенств, содержащих показательные и логарифмические выражения.

Используемая литература: 1)«Квантор» В. И. Голубев; В. И. Тарасов. «Эффективные пути решения неравенств». 2)«Сборник по математике доя поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави. 3)Задания из практики приёмных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.