МЕТОД ЗАМЕНЫ ФУНКЦИИ Решение некоторых достаточно сложных (хотя и стандартных) неравенств 11 класс

О методе Приведенный метод решения неравенств позволяет решать их более компактно, а потому быстрее, что особенно актуально сейчас, когда в задании С3 в ЕГЭ необходимо решить неравенство повышенного уровня сложности. Представленный метод позволяет свести решение сложного, громоздкого неравенства к классическому (школьному) методу интервалов для многочленов. 2

ТЕОРИЯ Рассматриваемые методы решения достаточно эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение (частное) двух функций указанных ниже видов, а правая часть равна нулю. Традиционные решения таких неравенств путем рассмотрения двух случаев (или применение обобщенного метода интервалов) оказываются более громоздкими по сравнению с методом замены функции. 3

УТВЕРЖДЕНИЕ Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции, то неравенства: равносильны. 4

Что это значит практически? Утверждение означает то, что если одна из функций или имеет более простой вид, то при решении неравенств указанного выше вида ее можно «заменить» на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций. 5

Показательные неравенства 1. Функции 6

Действительно, имеем: 7

Пример 1 8

Продолжение примера 1 9

Неравенства с модулем 2. Функции Действительно, имеем: 10

Пример 2 11

Иррациональные неравенства 3.Функции 12

Действительно, имеем: Следовательно, при четном n для функций и также выполнены условия утверждения. 13

Пример 3 14

Логарифмические неравенства 4. Функции 15

Действительно, очевидно, что области определения этих функций совпадают. Кроме того, при а>1 имеем: 16

Пример 4 17

Пример 5 18

Продолжение примера 5 19

Пример 6 20

Пример 7 21

Продолжение примера 7 22

Пример 8 23

Продолжение примера 8 24

Пример 9 25

Продолжение примера 9 26

Пример 10 (из сборника для экзамена) 27