Геометрия чисел.

Эта видеоконференция посвящается 100-летию выхода в свет книги под названием «Геометрия чисел», написанной известным математиком Германом Минковским в 1911 году.

Выпуклое множество. Опр. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками, оно содержит соединяющий их отрезок.

Теорема Минковского. Если выпуклое центрально-симметричное относительно точки (0,0) множество на плоскости имеет площадь больше 4, то внутри него обязательно найдется по крайней мере еще одна целая точка.

Теорема Минковского (n-мерная) Если выпуклое центрально-симметричное относительно точки 0 множество в пространстве размерности n имеет площадь больше 2 n, то внутри него обязательно найдется по крайней мере еще одна целая точка.

Теорема Блихфельдта. Теорема. Докажите, что расположенную на плоскости произвольную фигуру площади S можно параллельно перенести так, чтобы внутрь попало [S] целочисленных узлов. (а если S не целое, то [S]+1 узел).

Теорема Блихфельдта. Комментарии к доказательству. Переносим по очереди все «квадратики» в один. Заметим, что в силу того, что суммарная площадь равна S, найдется точка покрытая нужное число раз.