Тема урока: «Графики функций. Преобразования графиков функций»

ввести понятие функции; определение графика функции; повторить способы задания функций; рассмотреть геометрические способы преобразования графиков функций совершенствовать умение построения графиков функций;

Числовая функция Определение: числовой функцией с областью определения D называется соответствие (зависимость), при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. Обозначение: латинскими (иногда греческими) буквами / f, q, h, y, p и т.д./ Задание: определите, какая из данных зависимостей является функциональной 1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

4. Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f Правильные ответы 1. Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у x y 2. Не является функциональной зависимостью, т.к. не каждому значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q a q 3. Не является функциональной зависимостью, т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие 2 значения переменной d x d nf

Рассмотрим произвольную функцию у=f(x) Переменная х Переменная у Независимая или аргумент функции Зависимая переменная или функция Название переменной Числовые значения переменной Множество всех допустимых значений переменной образует Значения аргумента (выбираются произвольно) Значения функции f в точке х и обозначают f(x) Область определения функции D(f) или D(y) Область значений функции для x D(f) E (f) E(y)

Примеры 1. Функция задана формулой у = Рассмотрим выражение, стоящее справа: так как выражение имеет смысл при всех значениях переменной, кроме х = -3, х = 3, поэтому D( y )=(- ;-3) U (-3;3) U (3; +) так как числитель дроби не может быть равен 0, поэтому Е ( у )=(- ; 0) U (0 ; +) 2. Функция задана формулой у = 3sinα-5 так как выражение 3sinα-5 имеет смысл при всех значениях α, поэтому D( y )= R так как -1 sinα 1, то -3 3 sinα 3, следовательно sinα , поэтому Е ( у )=[- 8 ; -2 ] 3. Функция задана формулой у = так как выражение имеет смысл при х-10, т.е. при х1, поэтому D( y )= [ 1; + ) так как выражение (х – 1) стоит под знаком арифметического квадратного корня, поэтому Е ( у )=[ 0; +)

Числовые функции Целые рациональные f(x) = p(x), где p(x) – некоторое выражение или многочлен примеры: D(y) =R D(y) =[ -4;+) Дробно рациональные где p(x),q(x) – некоторые выражения или многочлены D(f): q(x)0 примеры: D(y) =R, х -2 D(y) =( -4;+) D(y) =R, х 0,х 1,х 5

График функции Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f(х), а х «пробегает» всю область определения функции. Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Задание: определите, какой из данных графиков является графиком функции Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 у х о у х о у х о у х о

Правильные ответы Рис.1 не является графиком функции, т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу, имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.2 является графиком функции, т.к. любая прямая, параллельная оси Оу, имеет не более одной общей точки с линией графика Рис.3 не является графиком функции, т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу, имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.4 не является графиком функции, т.к. существует прямая, параллельная оси Оу, имеющая более одной общей точки с линией графика у х у х у х о оо у х о

Формула График Таблица Словесное описание Масса тела m прямо пропорционально зависит от его объёма V при постоянной плотности ρ. Способы задания функций х-39-7,8-205,49,11315 у2,30-74, ,5 р,°С t, ч о

Преобразование графиков функций Параллельный перенос графика функции у = f(х) вдоль оси Ох: на а единиц вправо, если а>0; на |а| единиц влево, если а 0; на |А| единиц вниз, если А 0 |А||А| у=f(х)+А А0 у=f(х) у=f(х-а) а

Преобразование графиков функций /продолжение/ Сжатие графика функции у = f(х) вдоль оси Ох относительно оси Оу в k раз, если k>1; Растяжение графика вдоль оси Ох относительно оси Оу в раз, если 01; Сжатие графика вдоль оси Оу относительно оси Ох в раз, если 01 у = kf(х), 0

Преобразование графиков функций /продолжение/ Симметричное отражение графика функции у = f(х) относительно оси Оу у = f(-х) Симметричное отражение графика функции у = f(х) относительно оси Ох у = - f(х) ПримерРисунок Преобразование графика функции у=f(x) Функция х 0 у у=f(х) у = - f(х) х у 0 у=f(х) у=f(-х) х у 0 х у

Преобразование графиков функций /продолжение/ Часть графика функции у= f(х), расположенная в области х 0, остаётся без изменения, а часть графика, расположенная в области х0, заменяется симметричным отображением части графика для х 0 относительно оси Оу у = f(|х|) Часть графика функции у= f(х), расположенная ниже оси Ох, симметрично отражается относительно оси Ох, остальная часть графика остаётся без изменения у = |f(х)| ПримерРисунок Преобразование графика функции у=f(x) Функция х у 0 у= f(х) у = |f(х)| х у 0 у= f(х)у = f(|х|) х 0 у= х²-1 у= |х²-1| у 1 х 0 у 1 1 у= |х|³ у= х³

1. у = 3 – (х+1,5)² у=х² у=(х+1,5)² у= -(х+1,5)² у= 3 – (х+1,5)² Задание 1 Построить график функции у х у= 3 – (х+1,5)² у= х² у=(х+1,5)² у= – (х+1,5)²

2. у = 2sin (х – π) у= sin х у= 2sin х у = 2sin (х – π) π2π2π у х 0 1 -π-π 2 -2 у = 2sin (х – π) у = sin х у = 2sin х

2. у = -cos (х+π) у=cosх у = cos (х+π) у = -cos (х+π) Задание 2 Определите, какие виды преобразований были использованы 1. у = 0,5(х-1)³ + 3 у=х³ у=(х-1)³ у=0,5(х-1)³ у = 0,5(х-1)³ + 3

Задание 3 Определите, какой формулой задана функция 1. у = х³ у = (х-2)³ у = - (х-2)³ у = - (х-2)³ у = х у = х-1 у = |х-1|

2. у = х у = х-1 у = |х-1| у х0 1 1 Построение графика функции у = |х – 1| у= |х – 1| у= х у= х – 1

Итоги урока Какие существуют способы преобразования графиков?

Домашнее задание. §2 I уровень – 48(б); 49(в) II уровень- 50(в); 56(г)

Загадка Что общего между: качелями музыкой и светом это колебательные процессы, которые описываются с помощью гармонической функции: