IVXLСDМ В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы : НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Пример 1. Число ССХХХII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум. В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются. Пример 2 VI = = 6, а IV = 5-1 = 4. Пример 3 MCMXCVIII = ( ) + ( ) = 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая три десятка, третья три единицы. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ОснованиеНазваниеАлфавит q = 2Двоичная01 q = 3Троичная01 2 q=8Восьмеричная q=16Шестнадцатеричная ABCDEF Для записи чисел в позиционной системе с основанием q нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при п 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем: Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: B8F 16

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1,..., q- 1. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10. Развернутой формой записи числа называется запись в виде А q =±(а п-1 q n-1 +а п-2 q n a 0 q 0 + a- 1 q- 1 +a -2 q a -m q -m ). Здесь A q само число, q основание системы счисления, а. цифры данной системы счисления, п число разрядов целой части числа, т число разрядов дробной части числа. Пример 4. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387. Решение = = °. 26, =

Пример. Получить развёрнутую форму чисел 112 3, FC 16, 101,11 2 Решение = = FC 16 = F С ,11 2 = Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10. Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему. Решение = = = = = = FC 16 = = = = ,11 2 = = = /2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ 1 Какие числа записаны с помощью римских цифр: MMMD, IV, XIX, MCMXCIVII? 2 Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр. 3 Выполните действия и запишите результат римскими цифрами: XXII-V; CV-LII; IС + XIX;МСМ + VIII; XX : V; X IV;LXVI : XI;XXIV VII