Тема 2. «Определители. Способы их вычисления.» Основные понятия: Понятие определителя Вычисление определителей Свойства определителей Миноры и алгебраические дополнения

Любой квадратной матрице n-го порядка ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка. Вычисление определителя 1-го порядка: Вычисление определителя 2-го порядка:

Вычисление определителя 3-го порядка (правило треугольника или правило Саррюса):

Рассмотрим определитель n-го порядка. Выделим в нем какой-либо элемент и вычеркнем i-ю строку и j-ый столбец. Полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором Алгебраическим дополнением элемента называется число

Вычисление определителя n-го порядка Теорема Лапласа. Выберем в определителе n-го порядка произвольно k строк (или k столбцов), Тогда значение определителя n-го порядка есть сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения. Пример

Теорема. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2,…,n), для определителя n-го порядка справедлива формула или называемая разложением этого определителя по i-й строке. Теорема. Каков бы ни был номер столбца k (k=1,2,…,n), для определителя n-го порядка справедлива формула или называемая разложением этого определителя по k-му столбцу.

Свойства определителей: 1)Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами. 2)При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак. 3)Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя. 4)Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю. 5)Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю. 6)Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю.