ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ

Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств Работа посвящена одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств основанному на свойстве ограниченности функций, входящих в уравнение (неравенство). Предлагаемые мной задачи можно рассматривать на уроках, отведенных для подготовки учащихся к ЕГЭ (три-четыре урока), или использовать по одной – две задачи на уроке, также данный материал можно использовать на факультативном занятии (или на занятии элективного курса).

Применение свойства ограниченности при нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, при нахождении области значений функции. 1.Укажите область значений функции: 2. Укажите область значений функции: 3.Укажите область значений функции: 4. Укажите наименьшее значение функции : у = 5.Укажите наименьшее значение функции: 6.Укажите область значений функции:. 7.Укажите наибольшее значение функции: на промежутке [1;7]. 8.Найдите наибольшее значение функции:

Ограниченность функции. Функция называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше некоторого числа а, т.е. f(х) а. Функция называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше некоторого числа А, т.е. f(х)А. Если функция ограничена и снизу и сверху, то она называется ограниченной. у у у у х х хх m M m M

Найти наибольшее и наименьшее значение функции Решение. Так как функция y=sinx ограничена, то Следовательно, наименьшее значение функции, а наибольшее значение функции.

Найти множество значений функции : Решение. Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла, получаем, что Пусть t=sinx, -1 Тогда решение сводится к нахождению множества значений функции у= на отрезке [-1;1]. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы (-1;-1), следовательно, на отрезке [-1;1] функция возрастает. Поэтому свое наименьшее значение принимает при t=-1,у=-1, а наибольшее значение при t=1, у=3. Ответ :E(y)=[-1;3]. =

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1;7]. Решение. Функция y принимает наибольшее значение, если знаменатель дроби принимает наименьшее значение. Рассмотрим знаменатель. Функции возрастающие, следовательно, их сумма – функция возрастающая, значит своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, при x=1, т.е. наименьшее значение равно 5. Следовательно, наибольшее значение исходной функции на [1;7] равно 8. Ответ: 8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции Решение.. Ответ: y наим =1/2, y наиб =1.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЕЁ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ Данная функция принимает наибольшее значение тогда и только тогда, когда наибольшее значение принимает функция, стоящая в показателе степени: Укажите наибольшее целое значение функции Преобразуем её: Так как то наибольшее значение функции равно 4. Следовательно, наибольшее значение исходной функции равно Ответ: Решение.

. Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и неравенств МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ) Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение f(x)=g(x) и существует такое число М, что для любого х из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) M и g(x) M. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе

Решить уравнения

Решить уравнение Решение: Решение: Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в верное равенство, значит, х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0.

Решить уравнение Применим формулу разности квадратов Оценим левую часть у=, х 0 =-3/4, у 0 =0. Это парабола, ветви направлены вверх, наименьшее значение равно 0. Оценим правую часть : cos Значит, равенство возможно, если Следовательно, х=-3/4., cos -

Решить уравнение. Решение. Рассмотрим функцию. Найдём координаты вершины параболы. x 0 = 7, y 0 = 25. ветви направлены вверх, следовательно наименьшее значение функции равно 25. Так как f(x) 25, то. Очевидно, 1. Значит исходное уравнение имеет корни при условии, что второе слагаемое равно 1, а первое равно 0. x-7=0, x=7 При x=7 второе слагаемое равно 1. Таким образом x=7 корень уравнения.

Решить уравнение Решение. Корень уравнения легко угадать – это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея. Преобразуем уравнение: Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно при x > 0. Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни. При Решите уравнение Решение. Для решения уравнения оценим его части: Поэтому равенство возможно только при условии: Сначала решим второе уравнение: Корни этого уравнения и получаем: (верное равенство). Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. При х = -1 имеем: ( не верное равенство). cos( ) [-1;1] cos 2 ( ) [0; 1]. сумма единицы и неотрицательного числа.

Решить уравнение. Решение. (сумма двух взаимно обратных чисел). Следовательно, функция Принимает в силу непрерывности все значения из промежутка [3;+]. Оценим функцию. График – парабола, ветви вверх, наименьшее значение равно 3. значит h(y) принимает наибольшее, равное 3. следовательно исходное уравнение равносильно системе.

(так как: ). Решить уравнение Так как -то левая часть уравнения Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия Решая последнюю систему, получаем принимает значение от 0,5 до 2 Ответ: Решение. Оценим обе части уравнения.

Задания группы С. Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение. Найдите все значения параметра а при которых уравнение имеет решение. Найдите при каких значениях параметров a и b R уравнение имеет ровно два корня

Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение. Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при, то есть при а=-6/7. Множество значений левой части неравенства составляет промежуток, следовательно, наибольшее значение равно 4. Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если а=-6/7. Ответ: а=-6/7..

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. Решение. Перепишем уравнение в виде При всех значениях х выражение, поэтому. При всех значениях х выражение и. Поэтому. Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему Ответ: х=5/7 при а=-4/9.

Найдите все значения параметра Р при которых уравнение не имеет корней. Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем выражение Уравнение не будет иметь корни, если Р не будет принадлежать области значений левой части уравнения. Рассмотрим функцию f(x)=, оценим её. Так как Поэтому Функция f(x) непрерывна и принимает все свои значения: sinx=0, f(x)=-9, а если sinx=1, то f(x)=17,т.е. E(f)=[-9;17].Исключаем этот отрезок из числовой прямой и получаем ответ. Ответ: