Векторы Урок по геометрии для 8-го класса. Роженцева Светлана Евгеньевна Школа 2, г. Юрга

Историческая справка Термин вектор (от лат. Vector – несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Геометрическое понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором. Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом. Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора). В А Начало вектора Конец вектора C D a b c

Задача Назовите вектора А В C D EF K

Нулевой вектор Любую точку плоскости можно считать вектором. Такой вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Нулевой вектор обозначается 0 или СС. М С CC - нулевой вектор MM - нулевой вектор

Длина вектора Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|. Длина нулевого вектора считается равной нулю. AB a C D N Определите длины векторов (каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

Длина вектора |AB| = 6 |CD| = 5 |a| = 5 |NN| = 0

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. a C D b F K O m N P CD, KF, O, a, b – коллинеарные O, a – коллинеарные O, NP – коллинеарные NP, m – не коллинеарные

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF a C D F K b

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF a b a KF C D a F K b

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF a b a KF MM a MM b M a C D F K b

Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов обозначается: a = b Все нулевые векторы равны друг другу. a b M C CC = MM a b a = b

Задача 1 Какие из векторов, изображенных на рисунке: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены; 3) противоположно направлены; 4) имеют равные длины? a b d c

Задача 2 На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN. а) Укажите сонаправленные, противоположно направленные вектора. б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы? K L M N

Откладывание вектора от данной точки От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один. а А В М N'N' N p M p p II AB MN = AB MN' = AB MN = a

Задачи 3. Отметьте точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы. 4. Даны вектор BC и точка D(1;-2). Отложите от точки D вектор, равный вектору BC.

Отложите эти векторы от одной точки. a b d c Задача 5

Ответ a b d c

Задачи 6. На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы? 7. В ромбе ABCD lACl = 12см, lBDl = 16см. От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC. A BC D

Желаю успехов в изучении геометрии ! Составила учитель математики Роженцева Светлана Евгеньевна, Школа 2 г. Юрга, 2012