Кодирование информации Представление чисел в компьютере

СОДЕРЖАНИЕ: Представление чисел в формате с фиксированной точкой Представление чисел в формате с плавающей запятой Задания для самостоятельной работы

Представление чисел в формате с фиксированной точкой Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а «запятая» «находится» справа после младшего разряда, то есть вне разрядной сетки. Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А 2 = будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n - 1. Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целых неотрицательных чисел. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно А = = = Диапазон изменения целых неотрицательных чисел: числа от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное – 1 ). Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число = будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n- разрядном представлении равно: А = 2 n Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Дополнительный код отрицательного числа хранящегося в n ячейках, равен 2 n - |А|.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, так как в n-разрядной компьютерной арифметике: 2 n - |А| + |А| = О, поскольку в компьютерной n-разрядной арифметике 2 n 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и п нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только п младших разрядов, то есть п нулей. Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм: 1. Модуль числа записать в прямом коде в п двоичных разрядах. 2. Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы). 3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа для 16-разрядного компьютерного представления: При n-разрядном представлении отрицательного числа А дополнительным коде старший разряд выделяется для ранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число 2 n-1 - |А|. Прямой код модуля| | Обратный кодИнвертирование Прибавление единицы Дополнительный код

Чтобы число было положительным, должно выполняться условие |A| 2 n-1. Следовательно, максимальное значение модуля числа А в n- разрядном представлении равно: |А| = 2 n-1. Тогда минимальное отрицательное число равно: А = - 2 n-1. Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти 32 бита). Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно: А = 2 31 – 1 = Минимальное отрицательное целое число равно: А = =

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций. Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде: 1. А = т q n, где т мантисса числа; q основание системы счисления; п порядок числа.

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию: 1/n |т| < 1. Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля. Преобразуем десятичное число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой: 555,55 = 0, Здесь нормализованная мантисса: т = 0,55555, порядок: п = 3. Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности).

При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы. Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака 24 разряда: Знак и порядокЗнак и мантисса

Максимальное значение порядка числа составит = , и, следовательно, максимальное значение числа составит: = 1, · Максимальное значение положительной мантиссы равно: = 2 (10 · 2,3) ,3 = 10 (3 · 2,3) Таким образом максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1, (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

Задания для самостоятельной работы

1 Приведенные ниже числа распределите в два столбика: в первый поместите числа в естественной форме представления, во второй в экспоненциальной. 0,1236, 123,6258; ×10 5 ; -12,365 × ; 0, × ; 1,000001; ; × ; 9999,9999; × Запишите число 2001, 2001 пятью различными способами в форме с плавающей запятой.

3 Запишите следующие числа в форме с плавающей запятой и нормализованной мантиссой: а) 217, ; в) 10, ; б) ; г) Запишите следующие числа в естественной форме: а) 0, × 10 2 ; в) Е-5; б) 0, × ; г) Е+5.

5 Сравните следующие числа: а) 318,4785 × 10 9 и 3, × ; б) 218,4785 × и 1847,85 × ; в) 0,1101 × 2 10 и 101 × ; г) × и 1,1101 ×