Элементы аналитической геометрии. 9 класс.

р Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, ей параллельной. Любая прямая имеет множество направляющих векторов. l

Вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной данной прямой, называется вектором – нормали или нормальным вектором. n l

Какие условия определяют прямую на плоскости? Точка и один из направляющих векторов. Две различные точки. Точка и вектор нормали.

I. Запишем уравнение прямой m, проходящей через точку М (х;у), и имеющей направляющий вектор р{-b;a}. 1)Пусть точка М (х;у) – произвольная точка прямой m. ММ{x-x;y-y}. M р m

М М р, поэтому существует такое число k, что ММ=kp, т. е. х-х=-kb, x=x - kb, y-y= ka; y=y+ka (1) Координаты каждой точки прямой m удовлетворяют системе (1). 2) Если точка не лежит на прямой m, например точка N(x;y), то вектор MN{x-x;y-y} не коллинеарен вектору р, и, следовательно координаты точки N не удовлетворяют системе (1).

Таким образом, х = х - bk, y = y+ak, где kR, - параметрическое уравнение прямой m, проходящей через точку М(х;у), имеющей направляющий вектор р{-b;a}.

Пример. Дано. М (1;1),вектор р{2;1}-направляющий вектор прямой m. Напишите уравнение прямой m. Назовите координаты нескольких точек этой прямой. Принадлежат ли прямой m точки Е(13;7), К(-8;-5)?

Решение. 1) х=1+2k, y=1+k, где k R. 3) a) 1+2k=13, k=6, 1+k =7 ; k=6. k=6. Точка Е(13;7) принадлежит прямой l. b) 1+2k=-8, k=-4,5, 1+k=-5 ; k=-6. Система не имеет решений. Точка К(-8;-5) не лежит на прямой m.

Перейдем от параметрического уравнения прямой m к уравнению с двумя переменными х и у.

1.Вектор j{0;1}-направляющий вектор прямой m. m Oy M(x;y) x=x +0k. x=x +0(y-y ), y=y +k; y=y+k; x=x+0y, x=x - уравнение прямой, параллельной оси Оу, проходящей через точку М( х; у) y 0x m j

2.Вектор i {1;0}-направляющий вектор прямой m. m Ox x=x +k, x=x+k, y=y+0k; y=y+0(x-x) y=y+0x y=y - уравнение прямой, параллельной оси Ох, проходящей через точку М(х;у) x y 0 i m M

Вектор р{-b;a} не коллинеарен ни вектору i, ни вектору j, т.е.a и b отличны от 0.

a(x-x )+b(y-y)=0 (1) Заметим, что если a=0 и b 0, то уравнение(1) примет вид: b(y-y)=0. y-y=0, y=y. Если a0 и b=0, то получим уравнение a(x-x)=0, x-x=0, x=x.

Таким образом, a(x-x )+b(y-y )=0- уравнение прямой, проходящей через точку М (х;у),имеющей направляющий вектор р{ - b; a}.

Запишем полученное уравнение в виде: ax-ax +by-by=0, ax+by+c=0, где с=-ax-by. Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени с двумя переменными х и у.

Докажем, что любое уравнение ax+by+c=0, в котором хотя бы один из коэффициентов a или b отличны от нуля, является уравнением прямой. Доказательство. Пусть а 0. При y=0 x=-c/a, при у=1 х = - (b+c)/a. Рассмотрим точки M(-c/a; 0) и M(-(b+c)/a; 1) MM{ -b/a;1}. x+c/a+b/ay=0 – уравнение прямой, проходящей через точку М с направляющим вектором ММ. Умножим обе части этого уравнения на а. Получим ax+by+c=0. Итак, данное уравнение – это уравнение прямой.

Вывод. Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени с двумя переменными х и у, и всякое уравнение вида ax+by+c=0, где a, b, c – действительные числа, причем a и b одновременно не равны нулю, является уравнением прямой.

Каков геометрический смысл коэффициентов a и b в уравнении прямой ax+by+c=0? Отложим от начала координат векторы р {-b;a} и n{a; b}. OA=p; OB=n. Тогда A(-b;a), B( a; b). OA²=a²+b²; OB²=a²+b² ; AB²=(a+b)²+(b-a)² =2a²+2b². AB²=OA²+OB²,значит, АОВ=90 ͦ. n p. Вектор n { a; b} – вектор нормали данной прямой. y x O A B

a(x-x )+b(y-y)=0- уравнение прямой, проходящей через точку М( х ; у ); вектор p {-b; a}- направляющий вектор ; вектор n {a; b}-вектор нормали этой прямой.

Упражнения. 1.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(1;-2): а) параллельной прямой 2х+у-3=0; б ) перпендикулярной прямой 2х+у-3=0.

Решение. а) 2x+y-3=0-уравнение прямой l. l l. Вектор n {2; 1} – вектор нормали прямой l, а значит и прямой l. 2(x-1)+y+2=0, 2x+y=0 – уравнение прямой l. б) Вектор n {2;1} – направляющий вектор искомой прямой l. ll. х-1-2(у+2)=0; х-2у-5=0 – уравнение прямой l. Ответ. а) 2х+у=0; б) х-2у-5=0.

2. Дано. АВС, А(1;-2), В(3;4), С(7;0). 1) Написать уравнение прямой, содержащей медиану CD, среднюю линию, параллельную ВС, биссектрису А. 2) Найти длину высоты BH. 3) Найти расстояние от центра тяжести АВС до сторон треугольника. 4)Выяснить взаимное положение прямой АС и окружности (х-9)²+(у-4)²=10.

II. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки М (х;у) и М(х;у) 1) Если х =х, то уравнение прямой m имеет вид: х=х. 2) Если у=у, то уравнение прямой m имеет вид: у=у. 3) Пусть хх и уу. Вектор ММ{x-x;y-y} направляющий вектор прямой m.

III.Уравнение прямой в отрезках.

IV. Расстояние от точки М (x;y) до прямой l, заданной уравнением ax+by+c=0, вычисляется по формуле:

M l. Построим М М l. М(х;у). Так как Мl, то имеем равенство ax+by+c=0 (1). MM{x-x;y-y}, MM n, n{a;b}. MM=tn. x-x= ta, y-y= tb. (2) l M M

Найдем t, опираясь на соотношения (1) и(2). x -x =at, x =x -at, y -y = bt, y =y - bt, ax +by + c=0; a(x -at)+b(y -bt)+c=0. (3) Рассмотрим уравнение (3). ax -a²t+by -b²+c=0, (a²+b²)t=ax +by +c.

б)ρ(М;АС)=ρ(м;АВ)

4)Точка N(9;4)-центр окружности (х-9)²+(у-4)²=10. Найдем ρ(N;АС).

Задача решена. Запишите ответ.