Уравнения и неравенства с параметрами. Выполнила учитель математики МБОУ-СОШ 2 р.п. Степное Советского района Саратовской области Емельянова Н.В.

« Что за прелесть эти задачи с параметрами! Каждая из них – поэма!» С.А. Тынянкин.

Человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании.

Что же такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение f (x; a) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x; a), которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными переменными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если придать переменной а какое-либо фиксированное значение, то f (x; a) = 0 превращается в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравнения, естественно, зависят от выбранного значения а.

Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем: -при одних значениях параметра уравнение не имеет решений; -при других – имеет бесконечно много решений; -при третьих – оно решается по одним формулам; - при четвертых – оно решается по другим формулам. - Если уравнение f (x; a) = 0 нужно решить относительно переменной Х, а под a понимается произвольное действи- тельное число, то уравнение называют уравнением с параметром a.

решить уравнение с параметром f (x; a) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (x; a) = 0 при любых действительных значениях параметра. Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства урав- нений. Каждое из уравнений семейства полу- чается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:

Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Решение линейных уравнений

Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

Каковы основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Но иногда прямое решение является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Основные способы (методы) решения задач с параметром. Способ I (аналитический). Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример 1. Найти значения параметра а, при которых уравнение а(2а + 3)х + а 2 = а 2 х + 3а имеет единственный отрицательный корень. Решение. Данное уравнение равносильно следующему:. Если а(а + 3) 0, то есть а 0, а –3, то уравнение имеет единственный корень х =. х < 0, если Решив это неравенство методом интервалов, имеем: а 3. Итак, данное уравнение имеет единственное отрицательное решение при a 3. О т в е т: при a 3. < 0.< 0.

Пример 2. Решите уравнение. Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b – 1)(x + 3) 0, то есть b 1, x –3. Умножив обе части уравнения на (b – 1)(x + 3) 0, получаем уравнение: Это уравнение является линейным относительно переменной х. При 4b – 9 = 0, то есть b = 2,25 уравнение принимает вид: При 4b – 9 0, то есть b 2,25 корень уравнения x =. Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение х равно –3. Таким образом, при b 1, b 2,25, b –0,4 уравнение имеет единственный корень x =. О т в е т: при b 1, b 2,25, b –0,4 корень x = при b = 2,25, b = –0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Типы задач 2 и 3 отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие : существует решение; не существует решения; существует единственное решение; существует положительное решение; существует ровно k решений; существует решение, принадлежащее указанному промежутку. В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.

Можно выделить две разновидности применения графического метода при решении уравнения f (х) = f (а): На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром. На плоскости Оха (которую называют также фазовой) рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней? Решение. Построим графики функций f (х) = 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 и f (х) = а в одной системе координат. Имеем: f '(х) = 12х х 2 – 24х = 12х(х + 2)(х – 1), f '(х) = 0 при х = –2 (точка минимума), при х = 0 (точка максимума) и при х = 1 (точка максимума). Найдем значения функции в точках экстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Строим схематически график функции с учетом точек экстремума. Графическая модель позволяет ответить на поставленный вопрос: уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней, если –5 < а < 0. О т в е т: –5 < а < 0.

Пример 2. Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение ? Решение. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности у = и прямой у = х + а. Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу у = х +. Заданное уравнение не имеет корней при а ; имеет один корень при –2 < а < 2 или при а = ;. имеет два корня при 2 < а

Пример3. Сколько решений имеет уравнение |х + 2| = ах + 1 в зависимости от параметра а? Решение. Можно построить графики у = |х + 2| и у = ах + 1. Но мы поступим иначе. При х = 0 (21) решений нет. Разделим уравнение на х: и рассмотрим два случая:1)х > –2 или х=2 2)2) х < –2 и построим графики функций. и При а (- ;-1] (1; + ) и а= одно решение; при a (-1; ) два решения; при a ( ; 1) нет решений.

Пример использования «пучка прямых» на плоскости. Найдите значения параметра a, при которых уравнение |3x + 3| = ax + 5 имеет единственное решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 равносильно следующей системе: Уравнение y – 5 = a(x – 0) задает на плоскости пучок прямых с центром A (0; 5). Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам уголка, являющегося графиком y = |3x + 3|. Эти прямые l и l 1 пересекают в одной точке график y = |3x + 3|. Уравнения этих прямых y = 3x + 5 и у = –3х + 5. Кроме того, всякая прямая из пучка, расположенная между этими прямыми, также будет пересекать график y = |3x + 3| в одной точке. Значит, искомые значения параметра [–3; 3].

Алгоритм решения уравнений с использованием фазовой плоскости: 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем параметр а как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 4. Находим точки пересечения прямой а = с, где с є (-; +) с графиком функции а = f(х). Если прямая а = с пересекает график а = f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 5.Записываем ответ.

Пример решения неравенства с помощью «фазовой плоскости». Решите неравенство х. Решение.По равносильному переходу Теперь на плоскости Оха построим графики функций Точки пересечения параболы и прямой х 2 – 2х = –2х х = 0. Условие а –2х автоматически выполняется при а х 2 – 2х Таким образом, в левой полуплоскости (х < 0) надо взять точки, лежащие выше прямой (и на ней), а в правой полуплоскости надо взять точки, лежащие между ветвями параболы, т.к О т в е т: при а О (– Ґ ; –1) нет решений; при а О [–1; 0)хОхО при а О [0; + Ґ ) х О