Последовательности

План изучения темы: 1. Определение последовательности. 2. Определение членов последовательности. 3. Виды последовательности. 4. Способы задания последовательности.

Определение: Упорядоченное множество чисел называется числовой последовательностью. Упорядоченное множество чисел называется числовой последовательностью. И

Приведем примеры: Запишите в порядке возрастания положительные четные числа. 2; 4; 6; 8; … На пятом месте будет стоять число 10. На десятом месте будет стоять число 20. На сотом месте – число 200. Вообще для любого натурального n можно указать соответствующее ему положительное четное число. 2n.

Приведем примеры: Выпишите в порядке убывания правильные дроби с числителем равным 1. 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; … 1/(n+1)

Числа, образующие последовательность называются членами последовательности. а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ;… а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ;… а п - n-й член последовательности. а п - n-й член последовательности. Сама последовательность обозначается (а п ), (ь п ), (с п )… Сама последовательность обозначается (а п ), (ь п ), (с п )…

Последовательность бывает бесконечной и конечной. Пример бесконечной последовательности. Пример бесконечной последовательности. Пример бесконечной последовательности. Пример бесконечной последовательности. Пример конечной последовательности. Пример конечной последовательности. Пример конечной последовательности. Пример конечной последовательности. И

Запишите последовательность двузначных чисел по возрастанию: 10; 11; 12; 13; 14; …;98; 99.

Существует два способа задания последовательности, позволяющие найти любой член последовательности с любым номером. 1 способ: указать формулу n-го члена последовательности. 2 способ: указать рекурентную формулу.

Определение: Формула, позволяющая найти любой член последовательности через его номер, называется формулой n-го члена последовательности. И

Формула n-го члена последовательности: а n = 2n 2

Формула n-го члена последовательности: b n = 1/(n+1)

Решим несколько задач, по нахождению последовательностей, заданных формулой n-го члена: Пример 1: 329 Пример 2: 330 Пример 3: 331

Пример 1: 329 3, 6, 9, 12, … а 1 =3, а 5 =15, а 10 =30, а 100 =300. а n =3n.

Пример 2: , 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0,… с 10 =0, с 25 =-1, с 200 =0, с 253 =-1. с 2k =0, с 2k+1 =-1.

Пример 3: 331 1,4,9,16,25,36,49, 64,81,100… а 20 =400, а 40 =1600. а n =n^2.

Формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие, называется рекурентной. (от латинского слова recurro –возвращаться) Пример: Пусть первый член последовательности (а п ) равен 3, а каждый последующий равен квадрату предыдущего. Другими словами а п+1 = а п ². Найдите первые четыре члена последовательности. И

3; 9; 81; 6561;… А вот и ответ:

Найдите первые четыре члена последовательности, заданной рекурентной формулой: а n+1 = а n +3, если а 1 = 8. а n+1 = а n +3 а n+1 = 2 ·а n, если а 1 =3. а n+1 = 2 ·а n Подведем итог

Проверьте себя: 8, 11, 14, 17, … 3, 6, 12, 24, …

Арифметическая прогрессия 1. Определение. Определение. 2. Формула n – го члена. Формула n – го члена. 3. Формулы суммы n первых членов. Формулы суммы n первых членов.

Определение : Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Рекурентная формула арифметический прогрессии: а n+1 =а n +d где d – разность арифметической прогрессии.

Формула n – го члена арифметический прогрессии: а n = а 1 + (n – 1) d

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии: (a 1 + a n )n S n = S n = (a 1 + d)n

Геометрическая прогрессия 1.Определение.Определение. 2.Формула n – го члена.Формула n – го члена. 3.Формула суммы n первых членов.Формула суммы n первых членов.

Определение : Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на некоторое число. Рекурентная формула геометрической прогрессии: b n+1 = b n · q q – знаменатель геометрической прогрессии.

Формула n – го члена геометрической прогрессии: b n = b 1 · q

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии: